|
| |
|
Слаботочка Книги 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 [103] 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 Основные характеристики наиболее распространенных распределений Характеристика Распределение экспоненциальное нормальное ло гарифмически-нормальиое Б ейбулла-Гнеденко Дг)-функция распределения 2п I Z и е du, Z=(f-a)/a Z и У2Й Z=(ln-fx)/o t a , f(t) -плотность распределения 1 n-a - 2 I о 1 ~ 2 [ о ) аУ2п - oo <; / < oo af\/2n 0<<oo Г(а + 1)Р=+ a>-1, P>0, 0<f<oo M-математическое ожидание к p(a + l) D-дисперсия Mo-мода Г(0=0 a(l -1/fc)/ Me-медиана a (in г)/" --тг 01 = 0,5 Мтах-95%-ная квантиль, f(Mmax)=0,95 а+1,6450 Jn-t-1.64 5а) а(1п20)/ --тг 01 Таблица 19.5 Оценки параметров некоторых распределений, полученные методом моментов
В таблице приняты следующие обозначения: 1 Т =- V i-первый выборочный момент; 1 = 1 П / П \5 1=1 Vj=i у -выборочная дисперсия; и=- 7 Inti-выборочное среднее для логарифмических распределений; п £ = 1 Л;2 = £=1 t = l /2 (/2-1) -выборочная дисперсия для логарифмических распределений. Выше метод моментов рассмотрен применительно к выборке, содержащей только полные реализации (выборка 1А). Аналогично может быть обработана выборка, содержащая только условные реализации (выборка 2А). Метод моментов весьма прост в реализации, однако получаемые этим методом оценки не эффективны и, следовательно, могут быть использованы только при объемах выборки (числе полных реализаций) не менее 30. При применении метода моментов к усеченной выборке для оценки параметров используются только полные реализации, что, очевидно, приводит к систематической ошибке (занижению) оценок относительно истинного значения параметра. 2. Метод квантилей. Для получения оценок параметров методом квантилей используют так же, как и в методе моментов, уравнения, в которых квантиль теоретического распределения приравнивается к Эйширической квантили. При этом используется столько эмпирических квантилей и соответственно уравнений, сколько параметров необходимо оценить. Например, для оценок аи b распределения Вейбулла-Гнеденко применяются следующие два уравнения: (19.7) -{12/а) (19.8 где а, b - искомые оценки а и b распределения Вейбулла - Гнеденко; t, - квантили эмпирической функции распределения; F, F2 - значения эмпирической функции распределения, соответствующие квантилям ti и tz- Таблица 19. Оценки параметров некоторых распределений, полученные методом квантилей Вид распределения Оценки параметров Вейбулла - Гнеденко Inlnfa-InlnFi tl b=.---. «=-Г In - (-In Fl) Экспоненциальное Нормальное 04Fi)k-Q>-HFi)k k-a Решением уравнений (19.7) и (19.8) относительно значений аяЬ получаются соответствующие формулы для оценок (табл. 19.6). В таблице приняты следующие обозначения: к, tz - квантили эмпирической функции распределения; Fl, р2 - значения эмпирической функции распределения, соответствующие квантилям к и tz, (Fi), (F - квантили функций стандартного нормального распределения, соответствующие уровням Fi и Fg. Ясно, что метод квантилей более универсален относительно типа выборки важно только уметь рассчитать для выборок различного типа значения эмпирической функции распределения (см. п. 19.5.3). Однако оценки, получаемые методом квантилей, обладают значительной дисперсией. В частности, для нормального распределения, если в качестве оценки параметра а методом моментов принято выборочное среднее, а в качестве оценки того же параметра методом квантилей принята медиана выборки (50%-пая кван-тиль.эмпирической функции распределения), то оценка, получаемая методом квантилей, в этом случае имеет в 1,6 раза большую дисперсию. 3. Метод максимального правдоподобия. Метод является универсальным и наиболее мощным с точки зрения эффективности оценок! Идея метода заключается в том, что для фиксированного результата эксперимента составляется функция правдоподобия, выражающая вероятность получить реализовавшийся в эксперименте результат. В качестве искомых точечных оценок принимаются значения параметров, максимизирующие функцию правдоподобия. Пример 19.1. Обработка результатов непараметрических испытаний. Напомним, что при испытаниях по схеме {NUT} мы располагаем только сведениями о количестве изделий, подвергнутых испытаниям, и количестве изделий, отказавших за время испытаний (выборка типа 2Г, табл. 19.3). Единственным показателем, который может быть оценен по такой выборке, является вероятность отказа за время испытаний 9. Условия испытаний по схеме {Af/T}, подробно описанные в § 19.3, соответствуют классической схеме независимых испытаний Бернулли. Решение. Известно, что для схемы испытаний Бернулли, если в результате опытов получено п отказов, то вероятность такого события, т. е. функция правдоподобия, определяется выражением L (q) = С% q" (\ - дГ-, (19.9) которое при фиксированных N и п (результаты испытаний) есть функция, зависящая только от неизвестного параметра д. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 [103] 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |