|
| |
|
Слаботочка Книги Задача определения точечной оценки параметра q сводится к формальной процедуре отыскания координаты точки максимума функции (19.9). Обычно для упрощения операции дифференцирования функцию правдоподобия сначала логарифмируют. В рассматриваемом случае Ig L = Ig С5(, + п Ig <7 + (Л - п) Ig (1 - q). (19.10) Затем д Ig LIdq = nlq -{N - n)l{\ - q). (19.11) Тогда уравнение для оценки q запишется в виде nlq- {N - п)/(1 -ф = О, (19.12) откуда пoлyчaelv искомую оценку максимального правдоподобия для параметра q: q=n/N. (19.13) Оценка, определяемая (19.13), является несмещенной и эффективной. Пример 19.2. Многократно усеченная выборка. В результате испытаний по плану (NRT) получена выборка типа 1Д (табл. 19.2), содержащая п наработок до отказа (полных реализаций tt) и / различных безотказных наработок (неполных реализаций т,-). Решение. Известно априори, что наработка на отказ испытываемых изделий подчиняется распределению Вейбулла-Гнеденко вида с плотностью b - l f{t)==- - " е-(/«)*. (19.15) а \ а ] Логарифм функции . правдоподобия для условий примера имеет вид L= 2 пДг)+ 2 In[l-F(T,-)1 (19.16) .=1 /=1 или с учетом (19.15) и (19.16) L=nlnb-nblna + ib - l) In/-а-"/ tt + 2 "Z V (•) «=i \»=i /=1 / Для получения оценок параметров используется система уравнений: =0; ~=0. (19.18) да дЬ Из (19.17) после дифференцирования и алгебраических преобразований Получаем следующие выражения для оценок а и Ь: °Ч" /" ) f 2 f 1пг+ 2 т/1пт 1 + А у In = -Aii--L. (19.20) 2 + 2 V Уравнение (19.20) решается методом последовательных приближений. При этом в качестве первого приближения для оценки b можно принять значение, получаемое методом моментов, или значение, получаемое графическим методом (см. п. 19.5.3). После определения b из (19.19) находится значение а. Метод максимального правдоподобия наилучшим образом использует всю информацию, содержащуюся в экспериментальных данных. Однако в ряде случаев получение оценок связано с необходимостью решения громоздких уравнений. В отечественной практике оценки максимального правдоподобия для параметров наиболее распространенных распределений регламентированы государственными стандартами. В заключение отметим, что достоверность оценок, получаемых любым из аналитических методов, существенно зависит от достоверности сведений о виде функции распределения исследуемой случайной величины. Поэтому даже в том случае, когда вид функции распределения считается априори известным, настоятельно рекомендуется прежде, чем использовать какую-либо из формальных процедур для точечных оценок параметров, провести проверку согласия опытного распределения с теоретическим (априори заданным) по вероятностной бумаге (см. п. 19.5.3). 19.5.3. Методы определения точечных оценок при отсутствии априорных сведений о виде функции распределения. Если вид функции распределения априори неизвестен, процедура статистической обработки должна предусматривать более детальное исследование выборки: построение вариационного ряда; построение гистограммы и функции интенсивности отказов (если позволяет объем выборки); оценка значений эмпирической функции распределения; предварительная оценка непротиворечивости экспериментальных данных принятому (гипотетическому) распределению по вероятностной бумаге; оценка точечных значений параметров (при положительном результате предыдущего этапа); оценка согласия опытного распределения с гипотетическим по количественному критерию. Этот перечень свидетельствует, что в данном случае значительное место в статистической обработке занимает графическая интерпретация экспериментальных данных как весьма чувствительный инструмент исследования. 1. Вариационный ряд. Упорядоченный в порядке возрастания (неубывания) ряд значений случайных величин, составляющих выборку, называется вариационным рядом. Пример 19.3. В результате испытаний по плану [NUN] получены следующие значения наработок до отказа - полных реализаций (в часах); 34, 101, II, 69, 125, 24, 148, 13, 15, 103, 21, 29, 4, 38, 80, 35, 57, 3, 126, 56, 38, 9, 60 (выборка 1А). Решение. Упорядочение реализаций, составляющих выборку в порядке возрастания, дает следующий вариационный ряд: 3, 4, 9, 11, 13, 15, 21, 24, 29, 34, 35, 38, 38, 56, 57, 60, 69, 80, 101, 103, 125, 126, 148. Общее число членов вариационного ряда п (число элементов выборки) называется объемом выборки. В примере п = 23. Простейшими функциями элементов выборки являются так называемые порядковые статистики. В упорядоченном (вариационном) ряду i-й по порядку член называется i-й порядковой статистикой. Так, число 13 является в условиях примера пятой порядковой статистикой. Первый (наименьший) и последний (наибольший) члены вариационного ряда называются крайними порядковыми статистиками (число 3 и число 148). Разность между крайними порядковыми статистиками составляет размах V вариационного ряда. в частности, в условиях примера 19.3 V = 148 - 3 = 145 ч. Центральная порядковая статистика вариационного ряда, т. е. член с номером k = (п + 1)/2, называется выборочной медианой. В рассмотренном примере медианой является 12-й член ряда (Ме = 38 ч). Если объем выборки я - четное число, то выборочная медиана определяется как среднее (полусумма) двух центральных порядковых статистик. При обработке результатов экспериментов широко употребляются также выборочное среднее и выборочная дисперсия, которые определяются по формулам: X ~- -Ухг; (19.21) о2=- у (Xi-xf. (19.22) Для рассматриваемой выборки л: ~ 52 ч; ~ 1795 ч. Для статистических данных более сложного вида - усеченных выборок типа 15 (1Д) составляется общий вариационный ряд, включающий как полные реализации, так и неполные, причем неполные реализации отмечаются каким-нибудь значком, например звездочкой. Пример 19.4. При испытаниях по плану \NRT\ кроме наработок до отказа - полных реализаций, представленных в примере 19.3, получены следующие безотказные наработки - неполные реализации (в часах); 7, 13, 18, 60, 60, 120, 150, 170, 170, 170, 170. В этом случае общий вариационный ряд: 3, 4, 7*, 9, И, 13, 13*, 15, 18*, 21, 24, 29, 34, 35, 38, 38, 56, 57, 60, 60*, 60*, 69, 80, 101, 103, 120*, 125, 126, 148, 150*, 170*, 170*, 170*, 170*. При этом объем выборки п и размах вариационного ряда V вычисляются по полным реализациям, т. е. в данном случае остаются теми же, что и в примере 19.3. Общее число реализаций в такой выборке в дальнейшем будем обозначать через N, а число неполных реализаций через /. В данном случае / = 11, а Л/ = = п + / = 34. Для экспериментальных данных подобного общего вида удобно в качестве графического аналога вариационного ряда использовать ранжированную диаграмму реализаций, в которой полные реализации расположены в порядке возрастания, а затем неполные в порядке убывания величин реализаций. Ранжированная диаграмма для вариационного ряда примера 19.4 показана на рис. 19.1. При испытаниях с периодическим контролем результаты получаются естественным образом группированными по интервалам контроля (выборки второго типа, табл. 19.3). В простейшем случае выборка содержит только условные реализации (тип 2А). Пример ранжированной диаграммы для группированных данных общего вида (выборка 2В) показан на рис. 19.2. Вариационный ряд и диаграмма реализаций являются простейшими формами представления экспериментальных данных. Более информативны гистограмма и эмпирическая функция распределения. 2. Гистограмма. Для вычисления гистограммы используется вариационный ряд по следующему правилу; размах вариационного ряда делится на k интервалов (не обязательно одинаковых); для каждого из интервалов вычисляется значение (19.23) где nil, i - 1. k, - число членов вариационного ряда, попавших в i-й интервал; Aj - ширина интервала. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 [104] 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |