|
| |
|
Слаботочка Книги Ю W so 0 so ео 70 so so юо но f20 fSO наработка, ч Рис. 19.1. Ранжированная диаграмма реализаций к примеру 19.4 51 =1 Периодичность контроля Наработка Рис. 19.2. Пример ранжированной диаграммы для выборки типа 2В графически гистограмма изображается рядом прямоугольников шириной Aj и высотой fi (х). Гистограмма является важным вспомогательным средством при принятии гипотезы о виде функции распределения. Поэтому важно построить ее так, чтобы извлечь максимум необходимой информации. Дело в том, что форма гистограммы зависит от числа и величины интервалов разбиения. К сожалению, не существует правила, которое указьюало бы оптимальное разбиение. Построение удачной гистограммы все еще остается предметом интуиции и искусства исследователя. Действительно, при слишком малом числе интервалов разбиения (интервал велик) плохо выявляются характерные особенности распределения. С ростом числа интервалов характерные особенности выявляются все лучше, но лишь до определенного предела. При слишком большом числе интервалов (интервал слишком мал) гистограмма снова теряет характерные особенности распределения, превращаясь в пределе (когда в каждом интервале не более одного значения Xt) в чередование «пустых» интервалов и одинаковых по высоте прямоугольников. Число интервалов иногда определяют по формуле Л ~ 1 + 3,3 Ig л, (19.24) где п..-объем выборки. Согласно этому правилу при объеме выборки до тысячи полных реализаций рекомендуемое число интервалов разбиения не превышает одиннадцати. Для объемов выборки п <: 50, с которыми в основном приходится иметь дело при обработке результатов испытаний на надежность, вид гистограмм слишком чувствителен к способу разбиения, поэтому правило (19.24) можно использовать лишь как ориентировочное. В этих случаях рекомендуется построить несколько вариантов гистограмм для различных способов разбиения вариационного ряда- для k - 3, i, 5, 6, 7, 8 и т. д. Лучшей естественно считать гистограмму, имеющую меньшее число инверсий. Признаком инверсии считается изменение знака приращения высоты прямоугольника, определяемой выражением (19.23). Среди гистограмм с одинаковьш числом инверсий лучшей следует считать ту, которая имеет большее число интервалов. Практически критерий инверсий реализуется следующим образом. Для каждого варианта гистограммы определяется средневзвешенное число инверсий h по правилу 1 ""-i где п - объем выборки; k - число интервалов разбиения для данного варианта гистограммы; ttii, rtii+x - числа элементов выборки в i-м и (i -f 1)-м интервалах; Г О при отсутствии инверсии при переходе от t-ro к (i-i-l)-y интервалу, I 1 при наличии инверсии при переходе от t-ro к (t" + l)-y интервалу. Лучшей считается гистограмма, имеющая меньшее значение h, а при одинаковых h - гистограмма, имеющая большее число интервалов. Это правило позволяет учесть значимость инверсии -больший вес приписывается инверсии, приходящейся на область больших значений / {х). В качестве примера на рис. 19.3 изображены гистограммы, построенные по данным примера 19.3 при разбиении размаха вариационного ряда соответственно на три, пять, семь, восемь, двенадцать и двадцать равных интервалов. Как видно из рисунка, существуют две гистограммы - при разбиении на три и на семь интервалов, удовлетворяющие критерию минимума инверсий (гистограммы йе имеют инверсий). В качестве лучшей принимается гистограмма, имеющая семь интервалов (рис. 19.3, в). Правило (19.24) в данном случае дает для числа интервалов разбиения значение = 1 + 3,3 Ig 23 = 5,5, т.е. рекомендует пять-шесть интервалов. Иногда для построения гистограммы используется так называемый метод «равночастотных интервалов», смысл которого состоит в том, чтобы вместо деления размаха на k равных интервалов, объем выборки делился на k равных частей. При этом интервалы, естественно, различны. Значение k выбирается по правилу (19.24). Предполагается, что это позволяет рационально группировать данные при выборках небольшого объема. Рис. 19.3. ВиВгистограмм при различных способах разбиения вариационного ряда (по данным примера 19.3) Однако метод равночастотных интервалов не представляется наиболее предпочтительным в любом случае, так как он имеет некоторую неоднозначность, если объем выборки таков, что не может быть разделен на целое число равных частей. Эта неоднозначность тем чувствительнее, чем меньше объем выборки. На рис. 19.3, ж, и для данных примера 19.3 приведены гистограммы, построенные методом равночастотных интервалов при числе отказов в каждом из интервалов три и четыре соответственно. Для сравнения на рис. 19.3, к приведена гистограмма, построенная по тем же данным, в которой, однако, «частоты» в интервалах скорректированы по критерию минимума инверсий. При этом количество реализаций в интервалах (начиная с первого) распределилось следующим образом: 5, 3, 3, 6, 3, 3. Сравнение гистограмм, приведенных на рис. 19.3, показывает, что для экспериментальных данных примера 19.3 при построении гистограммы любым методом можно найти наиболее удачное разбиение на интервалы. Если принять в данном-случае в качестве гипотезы экспоненциальное распределение,, то меры расхождения по критерию Для гистограмм, приведенных на 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 [105] 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |