|
| |
|
Слаботочка Книги рис. 19.3, составят соответственно: 4,5; 4,1; 1,6; 4,6; 16,2; 66,2; 5,0; 3,1; 2,3, т. е. лучшее согласие дает гистограмма, представленная на рис. 19.3, в. В случае усеченных выборок типа 1Б-1Г гистограмма рассчитывается по правилу 7, (X) = niiliN - h) Д,-, (19.25) где rui - число полных реализаций вариационного ряда в интервале Д;; Д; - ширина t-ro интервала; N - общее число реализаций в выборке (число членов вариационного ряда); It - число неполных реализаций, не превышающих правой границы рассматриваемого интервала. Изложенные выше рекомендации относительно разбиения вариационного ряда на интервалы остаются справедливыми и в данном случае. Если объем выборки (число полных реализаций) п < 20, гистограмма не является информативной. Соответствующий этап обработки опускается. Для экспериментальных данных, группированных по интервалам контроля (см. табл. 19.3), при построении гистограммы можно воспользоваться естественными интервалами группирования. Осуществить разбиение выборки на меньшие интервалы невозможно, так как моменты отказов неизвестны. Единственной возможностью в данном случае является укрупнение интервалов путем объединения нескольких естественных интервалов группирования в один. С учетом этого все изложенные выше рекомендации относительно построения гистограмм остаются справедливыми и в данном случае, с той лишь разницей, что роль полных реализаций выполняют здесь условные реализации. При варьировании ширины интервала группирования (в сторону увеличения) может быть также использован критерий минимума инверсий. Если объем выборки (в данном случае число условных реализаций) не превышает 20, этап построения гистограммы опускается. Если позволяет объем выборки (число полных или условных реализаций более 50), целесообразно построить эмпирическую функцию интенсивности отказов. Функция интенсивности отказов может дать важную дополнительную информацию для принятия гипотезы о виде функции распределения исследуемой случайной величины. Для построения эмпирической функции интенсивности отказов используется разбиение вариационного ряда на интервалы, принятое при построении гистограммы. Значения функции интенсивности отказов для каждого интервала вычисляются по формуле Х~--,• (19.26) где rtii - число полных или условных реализаций (членов вариационного ряда) в интервале Д,; - ширина i-ro интервала; N - общее число реализаций в выборке; п,- - суммарное число полных или условных реализаций, не превышающих правой границы рассматриваемого интервала; h - суммарное число неполных реализаций, не превышающих правой границы рассматриваемого интервала. 3. Оценка значений эмпирической функции распределения (ЭФР). Оценка значений ЭФР по выборке состоит в том, что значения полных (или условных) реализаций, составляющих выборку (вариационный ряд), принимаются в качестве эмпирических квантилей, а значения функции распределения, соответствующие этим квантилям, рассчитываются. Для расчета значений ЭФР могут быть использованы различные функции выборки. В частности, для полной негруппи-рованной выборки (тип 1 А) простейшей оценкой эмпирической функции распределения является выражение 7i = iln, (19.27) где i - порядковый номер члена вариационного ряда; п - общее число членов вариационного ряда. Многие руководства рекомендуют использовать для оценки ЭФР математическое ожидание 1-й порядковой статистики, определяемое выражением ?i = i/(n + 1). (19.28) Эффективные и почти несмещенные оценки для значений ЭФР могут быть получены по правилу F, = (i - a)/(fi а - Р + 1) (19.29) при следующих значениях коэффициентов а и р: для распределения Вейбулла с параметром формы b . = 0,52(i=L); р „,50,2(), для экспоненциального распределения а = 0; р = 0,5; для нормального распределения а = Р = 0,375. Для выборки, однократно усеченной справа (тип 1Б), значения ЭФР могут быть вычислены по формулам (19.27), (19.28) или (19.29), с той лишь разницей, что вместо п подставляется Л-суммарное число элементов выборки (полных и неполных реализаций). Наиболее сложной является обработка многократно усеченной выборки (типов 1Г, 1Д). Для этого случая можно рекомендовать следующее правило, позволяющее использовать информацию, которую несут содержащиеся в выборке неполные реализации. Для каждой из полных реализаций выборки рекомендуется вычислять значения ЭФР по формуле = rt/{N + 1), (19.30) где N - суммарное число элементов выборки (полных и неполных реализаций); ti - условный ранг полной реализации, вычисляемый для каждой из полных реализаций по формуле r,=.r,-,-f ; 0=0, (19.31) где Mi - суммарное число полных и неполных реализаций выборки, не меньших, чем значение рассматриваемой i-й реализации. В тех случаях когда усложнения, связанные с вычислением условных рангов неоправданны, можно использовать упрощенную оценку ЭФР по формуле Fi = i/iN -ti+ 1), (19.32) где i - порядковый номер соответствующей полной реализации в вариационном ряду (неполные реализации не нумеруются); - суммарное количество неполных реализаций, меньших, чем рассматриваемая i-й реализация. Может быть предложена следующая процедура несмещенного оценивания вероятности безотказной работы за время tf, по результатам цензурированных испытаний (по усеченным выборкам). Обозначим через число неполных реализаций, т. е. испытаний, прекращенных в момент rj (в момент наблюдения /-го отказа, либо в любой момент времени до (/ -f 1)-го отказа. Будем находить последовательно следующие величины, идя от конца испытаний к началу: П(1) = 1; Af(,)=Af-d-s-A,; Q(i)=4 (здесь d - число отказов (полных реализаций) в выборке, s - число неполных реализаций в выборке; Дд -число неполных реализаций в интервале между (d-1)-м и d-M отказами); щ2) = «(1) + 1 + QiiAd, N2)=Nl)+l+d, Q(2) = "(2) и т. д., т. е. A(*> = Af(h-i) + l+Ad-ft+i; Q(k) Искомая оценка имеет вид Р Но) = 1 - Q(d). где Qd - величина, вычисляемая по описанному выше алгоритму. 4. Предварительная оценка непротиворечивости экспериментальных данных принятому (гипотетическому) распределению. Предварительная оценка производится графически по вероятностной бумаге соответствующего распределения. При этом значения ЭФР, вычисленные в соответствии с рекомендациями п. 3, для каждой из полных реализаций вариационного ряда наносятся на вероятностную бумагу, соответствующую принятому (гипотетическому) распределению. Результаты оценки считаются положительными, если траектория точек ЭФР на вероятностной бумаге может быть аппроксимирована прямой линией. Наиболее ответственный момент на этом этапе обработки - принятие гипотезы о виде функции распределения. Основным при выборе гипотезы является анализ физики процессов, приводящих к отказам, а также опыт эксплуатации и оценки изделий-аналогов. Дополнительная информация может быть получена из анализа гистограммы и функции интенсивности отказов. Следующий важный момент - наличие вероятностной бумаги соответствующего масштаба. Готовые бланки вероятностных бумаг.охватывают обычно очень большой диапазон значений по оси ординат (от 0,001 до 0,999) в расчете «на все случаи жизни». Такую бумагу можно эффективно применять только при объеме выборки более 200-00, поэтому в каждом конкретном случае желательно иметь вероятностную шкалу соответствующего масштаба, что позволяет лучше использовать площадь листа, увеличить масштаб построений и повысить точность оценок. Вместо специальной вероятностной бумаги можно применять обычную миллиметровую, наклеив на нее крупномасштабные вероятностные шкалы. Необходимо отметить, что в группе распределений, используемых в практике надежности, распределение Вейбулла-Гнеденко наиболее универсально, поэтому при обработке экспериментальных данных о надежности, если вид функции распределения априори неизвестен, в первую очередь рекомендуется воспользоваться вероятностной бумагой распределения Вейбулла-Гнеденко. Крупномасштабные шкалы для распределения Вейбулла-Гнеденко представлены на рис. 19.4. Следующий шаг - нанесение точек эмпирической функции распределения на вероятностную бумагу: первое (наименьшее) значение функции наносится в точке, соответствующей по оси абсцисс (оси наработок) величине первой (наименьшей) полной реализации; второе значение функции F2 наносится в точке, соответствующей величине второй полной реализации, и т. д. для каждой из полных реализаций выборки. При испытаниях с периодическим контролем экспериментальные данные оказываются естественным образом сгруппированными по межконтрольным интервалам (данные типа 2). При построении эмпирической функции распределения для статистических данных типа 2 весьма существен вопрос о том, к какому значению наработки относить рассчитанное значение функции. Поскольку точки, попавшие в интервал группирования, должны быть представлены одной точкой, то это, естественно, должна быть точка, соответствующая последнему скачку функции в данном интервале, т. е. точка, соответствующая окончанию наибольшей из реализаций (в данном интервале). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 [106] 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |