Слаботочка Книги Ьсли предположить, что наработки (реализации), сгруппированные в каждом интервале, представляют собой k случайных величин, которые распределены в интервале группирования независимо и равномерно, то задача отыскания положения последнего k-ro отказа в интервале шириной Д сводится формально к оценке математического ожидания k-й порядковой статистики k независимых наблюдений. CSffS 0,990 0,95 0,9 0,8 0,7 0,В 0,5 0,3 0.2. 0,05 0,0i 0,03 0,02 F Ь 0,01 0,005 О, 00 и 0,003 0,001 0,001 0,08 0,07 0,06 0,05 0,03 о, о г 0,01 0,005 0,00 и 0,003 0,002 0,001 0,999 0,990 0,95 0,9 0,Ъ 0,7 О, Б 0,5 0,3 0.2. F и о,оа Рис. 19.4. Шкалы к вероятностной бумаге распределения Вейбулла-Гнеденко: о) ось ординат; б), в) ось ординат удвоенного масштаба; г) ось абсцисс (шкала наработок) Известно, что если xi < , ...•<, xi - порядковые статистики совокупности k независимых наблюдений х, х, распределенных равномерно на [О, 1] каждое, то плотность распределения /-Й порядковой статистики определяется выражением fi\x) = kC (~\х1-(1-х)-, 0<х<1, а математическое ожидание е4> = j/{k +1), 1 < / < k. (19.33) Используя (19.33) при условии / = k, определяем положение последнего k-ro скачка относительно начала интервала шириной Д: Xk = Ak/{k + 1), (19.34) откуда при k = I Xi = Д/2; при > 1 ~ Д. Следовательно, середина интервала группирования может быть использована при нанесении точки эмпирической функции распределения только в частном случае, когда в интервале оказывается лишь один отказ (одна условная реализация). Правый конец интервала группирования может быть использован для нанесения точки эмпирической функции только как предельный случай при достаточно большом числе реализаций в интервале группирования. В общем случае применение правых концов интервалов группирования приводит к правому сдвигу аппроксимирующей прямой и, как следствие, к смещению оценки в сторону завышения. Чтобы минимизировать смещение оценки, рекомендуется определять положения точек эмпирической функции распределения на каждом интервале группирования по правилу (19.34). Наконец, необходимо отметить еще одно обстоятельство. В тех интервалах, в которых отказы (условные реализации) отсутствуют (k = 0), значения эмпирической функции распределения формально могут быть вычислены, но наносить эти значения на вероятностную бумагу не следует (это «пустые» интервалы). Если точки эмпирической функции распределения на вероятностной бумаге удовлетворительно аппроксимируются прямой, то можно переходить к следующему этапу обработки - оценке точечных значений параметров. В противном случае переходят к другой вероятностной бумаге или пытаются линеаризовать траекторию точек ЭФР введением дополнительного параметра - параметра сдаига распределения. 5. Оценка точечных значений параметров. Точечные значения параметров могут быть оценены каким-либо из аналитических методов или графически по положению прямой, аппроксимирующей точки ЭФР на вероятностной бумаге. Наиболее привлекательными свойствами графического метода являются простота и универсальность, а основным недостатком традиционно считается невысокая точность. Однако применительно к задачам экспериментальной оценки показателей надежности «инструментальная» грубость графического метода не столько существенна по сравнению с другими возможными источниками ошибок. Использование графического метода в данном случае хорошо согласуется с известным условием «равнопрочности всех элементов прикладного исследования». Процедуры оценки точечных значений параметров распределений по вероятностным бумагам достаточно полно описаны в литературе. 19.6. ПРОЦЕДУРА ПРОВЕРКИ СОГЛАСИЯ ОПЫТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ТЕОРЕТИЧЕСКИМ После того как каким-либо из методов получены оценки для неизвестных параметров (параметра), можно перейти к следующему этапу математической обработки - процедуре проверки гипотезы о виде функции распределения. Качест- венно такая проверка проводится на первых этапах статистической обработки по расположению точек эмпирической функции на вероятностной бумаге. На заключительном этапе обработки после оценки неизвестных параметров имеется возможность проверить гипотезу по количественному критерию. Ниже кратко описаны процедуры проверки согласия по двум наиболее употребительным критериям - Пирсона и Колмогорова. 19.6.1. Критерий Пирсона. При использовании критерия Пирсона (х-кри-терий) в качестве меры расхождения теоретического и эмпирического распределений принимается некоторое число Н, которое вычисляется по следующему правилу: (19.35) iTi Pi где п - объем выборки (число отказов); т - число интервалов разбиения вариационного ряда; Vj - число членов вариационного ряда (число отказов), попавших в i-й интервал; pi - вероятность того, что наработка на отказ примет значение в пределах i-ro интервала при данном виде функции распределения и найденных оценках параметров. Вычисленная по этому правилу мера расхождения Н есть случайная величина, имеющая х-распределение с числом степеней свободы I = т - 1 - S, где S - число параметров функции распределения, оцениваемых по одной и той же статистике. Заключительным этапом рассматриваемой процедуры проверки гипотезы является сравнение вычисленной меры расхождения с квантилью х-распределе-ления по уровню у = 1 - ее/ степенями свободы (Xv. О- Здесь е - уровень значимости (вероятность ошибки) - определяет максимальное значение меры расхождения, которое еще можно считать случайным. Если в результате сравнения оказывается, что вычисленное значение Н не превышает квантили %у i, то делается заключение, что нет оснований отвергнуть принятую гипотезу. Если же Я > Xv, гипотеза отвергается и вся последовательность статистической обработки повторяется, начиная с уточнения гипотезы о виде функции распределения. Таким образом, процедура проверки гипотезы о виде функции распределения по Х-критерию состоит из следующих этапов: построение вариационного ряда и гистограммы. При этом определяются число интервалов разбиения, ширина интервала разбиения и фактическое число отказов Vi, попавших в i-й интервал; принятие гипотезы о виде функции распределения и оценка параметров этого распределения; вычисление вероятностей р; вероятности pi вычисляются как разности значений функции распределения в точках начала и конца каждого из интервалов: Pi = Fi - Fi-i, вычисление значений пр, - ожидаемые (теоретические) числа отказов для каждого из интервалов при принятом виде функции распределения и найденных оценках параметров; вычисление значений (vj - npiYlnpi и меры расхождения Я по формуле (19.35); определение значения квантили Xv, i и сравнение с вычисленным ранее значением Я. Квантиль Xv, определяется по таблицам х-распределения либо по номограмме, приведенной далее. Если число отказов по результатам испытаний мало, гистограмма не является информативной и, следовательно, критерий Пирсона неприменим. Строго говоря, использование критерия Пирсона не рекомендуется уже при п <. 100. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 [107] 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |
|