|
| |
|
Слаботочка Книги 19.6.2. Критерий Колмогорова. При использовании критерия Колмогорова в качестве меры расхождения теоретического и эмпирического распределений принимается число D*, которое вычисляется по правилам: Dl=Dma при п< 100; (19.36) D*=l/nD„„ при п>100, (19.37) где Dmox - максимальное абсолютное значение разности эмпирической и теоретической функций распределения; п - объем выборки (число отказов). Вычисленная по правилу (19.37) мера расхождения D* есть случайная величина, имеющая распределение Колмогорова. При п < ЮО распределение Dn зависит от п. Заключительным этапом процедуры проверки гипотезы по критерию Колмогорова является сравнение вычисленной меры расхождения D* с квантилью распределения Колмогорова г/ по уровню у = I - е. Здесь, так же как и ранее, е - уровень значимости (вероятность ошибки) - определяет максимальное значение меры расхождения, которое еще можно считать случайным. Если в результате сравнения оказывается, что вычисленное значение D* не превышает квантили уг, то делается заключение, что нет оснований отвергнуть принятую гипотезу о виде функции распределения. Если же D* то принятая на начальном эта- пе гипотеза отвергается и вся последовательность обработки информации повторяется, начиная с уточнения гипотезы о виде функции распределения. При п 100 процедура проверки гипотезы проводится аналогично, с той лишь разницей, что вычисляется мера Dn и сравнивается с критическим значением Ъг.п (табулированная функция). Таким образом, процедура проверки гипотезы по критерию Колмогорова состоит из следующих этапов: построение вариационного ряда и эмпирической функции распределения; принятие гипотезы о виде функции распределения и оценка параметров этого распределения; вычисление значений теоретической функции распределения в точках Tj, соответствующих скачкам эмпирической функции распределения; вычисление в каждой из точек т абсолютного значения разности = = \?{Xl) - F {Xi)\; выбор максимального значения разности Dmax и определение меры расхождения по правилу (19.36) или (19.37); сравнение меры расхождения с квантилью распределения Колмогорова или при п < 100 с критическим значением максимального отклонения эмпирической функции распределения от теоретической. 19.7. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ 19.7.1. Предварительные замечания. Любая точечная оценка, если даже она удовлетворяет всем критериям качества, обладает принципиально существенным недостатком в том смысле, что она сама представляет собой лишь частное значение случайной величины. Мы не имеем представления о степени доверия к этой оценке, о степени ее точности. Недостатки точечных оценок особенно четко проявляются в следующих примерах. Пример 19.5. Проведено два независимых испытания одних и тех же изделий. Распределение наработки на отказ экспоненциальное, количество изделий в первом и втором случаях одинаково: N = 500 шт. Продолжительность первого испытания Ti = 100 ч, второго Т, = 200 ч. При этом числа отказов соответственно 111 = 5, П2 == 10. Точечные оценки для интенсивности отказов в первом и во втором случаях получаются одинаковыми: = = Ю-* ч-, однако интуитивно ясно, что во втором случае оценка более достоверная. Если, например, в результате испытаний тех же изделий число отказов п = О, то точечная оценка при любой наработке X = 0. Но Я = О означает абсолютную безотказность изделия, чего в принципе быть не может. Поэтому кроме точечной оценки желательно знать практически надежные границы для оцениваемого параметра, т. е. найти такой интервал оценок, который с достаточно высокой вероятностью «накрывает» неизвестный параметр. Ясно, что достоверными границами для параметров и показателей надежности (абсолютно надежными границами) являются: для Т и к [О, оо]; для Р (t) и q it) [О, 1]. Указание других границ сопряжено с риском совершить ошибку. Вероятности ошибок El и 62 называются уровнями значимости оценок: - вероятность того, что найденный интервал не накроет параметр своим левым концом; - вероятность того, что найденный интервал не накроет неизвестный параметр своим правым концом. В качестве меры достоверности оценки - доверительной вероятности в ма-вематической статистике •- принимается величина у* = I - - е, показы-наюш,ая, с какой вероятностью можно утверждать, что доверительный интервал накрывает истинное значение параметра: Т* = Р {Г„ < Г < Г Л, где Тд - нижняя граница доверительного интервала (нижняя доверительная граница для параметра Т); - верхняя граница доверительного интервала (верхняя доверительная граница для параметра Т). Итак, доверительный интервал - случайный интервал, длина и положение которого зависят от исходов наблюдений. При фиксированной точности (величине доверительного интервала) коэффициент доверия (доверительная вероятность) будет возрастать по мере увеличения числа отказов. При фиксированном числе отказов невозможно повысить доверительную вероятность, не уменьшая точность оценки, т. е. не расширяя доверительный интервал, и наоборот, нельзя увеличить точность оценки, не уменьшая доверительную вероятность. Чаще всего вероятности и выбираются одинаковыми; тогда у* = \ - - 2е и, следовательно, каждая из доверительных границ определяется с уровнем значимости е = 1 - у*/2 или с односторонней доверительной вероятностью (коэффициентом доверия), у = (I + у*)/2. Если известен вид функции распределения оценки, то принцип вычисления доверительных интервалов состоит в том, что в качестве нижней и верхней доверительных границ принимаются квантили этого распределения по соответствующему уровню. Нижняя доверительная граница определяется как квантиль по уровню е, а верхняя - как квантиль по уровню у = 1 - е. Вид распределения оценки определяется, в свою очередь, видом распределения исследуемой случайной величины и теми функциональными преобразованиями, которые производятся над исходной статистикой при получении оценок.Например, если оценка для математического ожидания дается выражением то распределение Т есть распределение суммы п независимых случайных величин, которое целиком определяется распределением исходной случайной величины т,; и числом отказов п (числом полных реализаций). в частности, если слагаемые Tj имеют экспоненциальное распределение, то оценка Т имеет у-распределение с п степенями свободы, что совпадает с х-распределением с числом степеней свободы 2п. Если Tj- - независимые нормально распределенные случайные величины со средним Т и дисперсией а, то оценка Т имеет нормальное распределение со средним Т и дисперсией а/п. 19.7.2. Доверительный интервал для параметра экспоненциального распределения. Расчетные формулы для доверительных границ и параметра X экспоненциального распределения для различных типов выборок приведены в табл. 19.7. В таблице приняты следующие обозначения: % -квантиль %-распределения по уровню е или 1 - ее числом степеней свободы 2п или 2п + 2; п - суммарное число отказов, зафиксированных при испытаниях (полных реализаций); h - суммарная наработка изделий при испытаниях. На практике часто принимается е = 0,1, что соответствует доверительной вероятности у* = 0,8. Квантили х-распределения выбираются по таблицам либо, что еще удобнее, по номограмме (см. п. 19.7.5). Если в результате испытаний число отказов п = О (частный случай выборки 1Г), то \ = 0. При этом определяется лишь одна доверительная граница, а именно Хт, - односторонний доверительный интервал. В этом случае, так как одна из границ является достоверной, значение с доверительной вероятностью у определяется выражением K = %l2/2h, где %у, 2 - квантиль х-распределения по уровню у с числом степеней свободы 2. Выборка типа 1Б для стратегии испытаний [NUT] в таблице не представлена, поскольку определение значений и Kj, в этом случае связано с решением уравнений (19.38) и (19.39). Решением этих уравнений находятся доверительные границы и (7е для вероятности отказа изделия за время испытания Т. Значения Яд и Лв определяются затем по формулам 19.7.3. Доверительные интервалы для параметров распределения Вейбулла- Гнеденко. Если в распределении F {t, а, b) = \ мы b известен, то, введя замену t* = t> vi а - а-*, Таблица 19.7 Доверительные границы для параметра экспоненциального распределения коэффициент фор-получаем экспоненциальное распределение F {t*, а) = 1 - е-«* с параметром масштаба а. Доверительные границы и сСв для параметра а определяются тогда по формулам табл. 19.7 для соответствующих стратегий испытаний (типов выборок). При этом, учитывая замену переменной, значения t, входящие в формулы табл. 19.7, рассчитываются по правилу ;=i /=1 где Tj - значения наработок до отказа (полные реализации); п - количество полных реализаций (отказов); tj - значения безотказных наработок (неполные реализации); т - количество неполных реализаций. После определения a„ и сси значения доверительных границ для параметра масштаба «а» находятся из выражения lna=-(lga)/b.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [108] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |