|
| |
|
Слаботочка Книги Если в результате испытаний отказывают все изделия (п = N), то q= I, а значение 1 - q, как решение уравнения (19.42), определяется по схеме на рис. 19.8,2. Например, если N =5, п = 5, у = 0,7, то через точку 1 -у = 0,3 на правой шкале и точку Л/ = 5, N - п = Она сетке номограммы проводится линия до пересечения с левой шкалой, по которой считывается значение 1 -• ?н = = 0,21, откуда q = 0,79. Если значения N и п таковы, что линия, проводимая через точку N, п - I (точку Б на рис. 19.8, а), выходит за верхний край левой шкалы, и в случае, если N > 1000, для использования номограммы следует число N уменьшить до такого значения N, чтобы линия, проводимая через точку N, п - 1, не выходила за верхний край левой шкалы. Удобно, чтобы значение N было целым числом, сов-падаюш,им с- одним из значений шкалы N номограммы. Затем для точек N, п и N, п - I по номограмме (см. рис. 19.8, а или в) определяются значения qe и (7н. Границы доверительного интервала вычисляются по формулам: q, = q.N/N; q = qiN/N. Пример 19.9. При передаче по каналу связи 7510 сообш,ений зафиксировано 9 искажений {N = 7510, п = 9). Определить доверительный интервал (17 и q,,) для вероятности искажения сообщения в канале связи с доверительной вероятностью у* = 0,8 (е = 0,1). Решение. Поскольку N > 1000, выбирается N = 200. Для точки N = = 200, п - 1 = 8 и точки N = 200, п = 9 так же, как и в примере 19.8, определяются значения qi, = 0,0275 и qe = 0,07. Вычисляются искомые доверительные границы: <?н = <?н Л Л/=7,7.10-*; qqNlN = 19,6-10-*. 4. Использование номограммы биномиального распределения для определения квантилей -распределения. Если время безотказной работы и время восстановления изделия подчиняются экспоненциальному распределению, то верхняя и нижняя доверительные границы для коэффициента готовности определяются выражениями: в = 1 /f 1+4-8.(2;.. 2т) 1; (19.44) 1 Ч-- Fi-e, {2k, 2т) Т ) (19.45) где Т, т - точечные оценки соответственно для наработки на отказ и времени восстановления; k, т - числа отказов и восстановлений, по которым определены оценки Гит; F, (2A,2m), F\-e. (2k. 2m)- квантили -распределения соответственно по уровням ей 1 - ее числом степеней свободы (2й, 2т). В свою очередь, квантили -распределения могут быть выражены через квантили биномиального распределения следующим образом: Рг, (2k. 2т) =m{\-q)lkq; (19.46) Fi-E. (2k, 2т) =т{1 -qlkq, (19.47), где 7п - квантиль биномиального распределения по уровню е, определяемая по номограмме, причем в качестве чисел N я п принимаются: N = k + т - 1; п = т - 1; (?н - квантиль биномиального распределения по уровню 1 - определяемая по номограмме, при тех же значениях Niin(N = k + m - I; п = == m - 1). Пример 19.10. В результате испытаний имеются статистические данные о 20 отказах изделия {N = 20) и 15 восстановлениях (т = 15). По этим данным определены точечные оценки наработки на отказ, времени восстановления и ко- эффициента готовности: Т = 70 ч; т = 1,5 ч; /с = 1/(1 + т/Г) =0,979. Время безотказной работы и время восстановления подчиняются экспоненциальному распределению. Определить с доверительной вероятностью у* = 0,8 доверительный интервал для коэффициента готовности (каждая граница доверительного интервала находится с уровнем значимости е = 0,1). Решение. На сетке номограммы биномиального распределения отмечается точка, соответствующая паре чисел: N = 20 + 15 - 1 = 34 и п = 15 - 1 = = 14. От точки 8 = 0,1 на правой шкале через отмеченную точку на сетке номограммы (N = 34; п = 14) проводится прямая до пересечения с левой шкалой, по которой считывается значение дв = 0,54. От точки 1 - 8 = 0,9 на правой шкале через ту же точку (Af = 34; п = 14) на сетке номограммы проводится прямая до пересечения с левой шкалой, по которой считывается значение „ = 0,327. По формулам (19.46) и (19.47) определяются квантили /-распределения Fo.u (40. 30) = 15 (1 - 0,54)/20-0,54 = 0,638; Fo,9; (40. 30) = 15 (1 - 0,327)/20.0,327 = 1,53. Доверительные границы для коэффициента готовности определяются по формулам (19.44) и (19.45): к.=./( 70 1,5 •0,638 =0,986; -.1,53=0,967. 19.8. СПОСОБ ОБРАБОТКИ НЕПОЛНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ Рассмотрим задачу оценки наработки на отказ восстанавливаемого объекта, когда экспериментальные данные об отказах или их отсутствие достоверно известны лишь за некоторый период времени J, непосредственно предшествующий обследованию. Такие данные представляют собой специфический случай усечения слева. ..t ? Диаграмма, поясняющая процесс образования выборки, представлена на рис. 19.9. На практике описываемый тип экспериментальных данных встречается при обследовани и ремонтных предприятий, ремонтирующих изделия разных лет (месяцев) выпуска, не располагающих данными о предьщущих отказах объектов при эксплуатации, а также в ряде случаев, когда предыстория эксплуатации изделий не может быть известна по организационно-техническим причинам. В процессе решения происходит восстановление недостающих данных путем расчета вероятностей отказов объектов в периоды, когда наблюдение за ними не производилось. Необходимым условием решения задачи является существенно различная наработка объектов. Пусть имеется v одинаковых восстанавливаемых объектов. С периодом 6 осуществляется контроль работоспособности объектов. Объекты достаточно вы-  Рис. 19.9. Временная диаграмма, поясняющая процесс образования выборки
соконадежны, так что вероятностью двух и более отказов одного и того же объекта в течение периода 6 можно пренебречь. Продолжительность интервала J, достаточного для проведения контроля работоспособности и восстановления объектов, значительно меньше, чем 6. Специфичной особенностью экспериментальных данных является то, что в г-й период контроля изделия неизвестно число предшествующих отказов объекта; известен лишь факт его безотказности или отказа за г-й период 6. Если наработку изделий выразить в числах периодов Э (с абсолютной погрешностью 6/2), то исходные данные могут быть представлены табл. 19.8. Обозначим вероятность отказа объекта за один (первый) период работы Р (0; 1) через р, за второй - Р (1; 2) = Ра и т. д., Р {м-I; М) = рм. Построим графы возможных исходов для объектов, имеющих в среднем наработку 0,5; 1,5 и 2,5 периода (рис. 19.10, а, б, в). За один (первый) период работы с вероятностью pi будет зарегистрирован отказ объекта, а с вероятностью 1 - Pi - безотказная наработка. В соответствии с исходными данными Pi = mi/wj. Вероятность того, что при обследовании изделия с наработкой в среднем 1,5 периода будет обнаружен отказ объекта, равна (см. соответствующий граф) Pi + Рг = tnjv, а с наработкой в среднем 2,5 периода р1 -f 2piP2 + Рз = tnv.   1-РгРг  Р1-Рг) PiPz Pd-Pf-P) P-lPi Pz(l-Pi) 1-Pi-Pz-Pis Рис. 19.10. Графы возможных исходов 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 [111] 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |