Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [114] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

ляет собой вероятность некоторого события А, то организуется N независимь;х опытов по осуществлению этого события и в каждом опыте фиксируется результат: успех, если событие А имело место, и неуспех (отказ, срыв) в противном случае. Например, при контроле Р (t) в каждом опыте фиксируется, проработало ли изделие безотказно время t; при контроле К фиксируется, работоспособно ли изделие в выбранный момент времени (прямой экспериментальный метод). После N-ro опыта изделие принимается, если суммарное число отказов не больше заранее вычисленного оценочного норматива rgp, и бракуется в противном случае. Опыты могут проводиться как на одном, так и на нескольких (до N) образцах изделия при условии, что независимость опытов обеспечена либо за счет полного восстановления образца к началу очередного опыта, либо за счет разнесения опытов по времени или по образцам. Таким образом, план контроля представляет собой пару чисел N, rgp.

План определяется по заданным Р, Pi, а и р с помощью табл. 20.2. Значения N и Гбр, приведенные в таблице, определены решением системы уравнений:

\ci;P-{l-PoУ=l-a, (20.1)

1 = 0

(1-Pi)=p. • (20.2)

i = 0

Число образцов изделия находится исходя из требования независимости всех N опытов. Независимость опытов при контроле различных ПН обеспечивается по-разному.

Если контролируется показатель Р (i) и распределение времени безотказной работы изделия экспоненциальное, то организовать N циклов работы длительностью t можно с любым числом образцов от 1 до iV. При таком распределении можно считать, что в каждом цикле изделие работает как новое, очередной цикл можно начинать сразу же после окончания предыдущего (или после ремонта, если был отказ), поскольку «предыстория» изделия в данном случае не имеет значения. Если же распределение существенно отличается от экспоненциального или оно неизвестно, то каждый цикл необходимо проводить с отдельным образцом, т. е. всего необходимо N образцов.

Если контролируется К, то контроль сводится к организации N проверок работоспособности изделия в случайные моменты времени. Проверки одного и того же образца должны быть разнесены по времени (интервал между проверками должен быть больше среднего времени безотказной работы и восстановления изделия).

При контроле R (f) должны выполняться все требования, необходимые для контроля К и Р (О-

Пример 20.1. Определить план контроля надежности гальванических элементов, если заданы два уровня вероятности безотказной работы Р (t) t = 20 ч: Ро = 0,98 и Pi = 0,96, а также риски а = р = 0,1.

Решение. По табл. 20.2 для заданных Ро, Pi, а и Р находим N = 473 и бр = 14. Это означает, что для контроля необходимо организовать 473 цикла работы изделия длительностью 20 ч каждый. Контроль прекращается либо при возникновении 14-го отказа решением о браковке изделия, либо по окончании 473-го цикла решением о приемке, если, к этому моменту число зафиксированных отказов было меньше 14.

Поскольку элемент, отработавший 20 ч, не может считаться новым (неэкспоненциальное распределение), для контроля необходимо 473 элемента.

Если исходные данные для того или иного конкретного случая отсутствуют в таблице, можно использовать номограмму, приведенную на рис. 19.7. Определение плана по номограмме осуществляется следующим образом. Между точ-

Число опытов N при одноступенчатом контроле

а=р=о,1

1-я,

= 2,0

= 14

а=Р = 0,2

0,999 0,998 0,997 0,996 0.995 0.994 0,993 0,892 0,991 0,990 9,980 0,970 0,960 0.960 0.940 0.930 0,920 0,910 0.900

9470 3735 3158 1369 1895 1578 1353 1884 1052 947 473 315 237 189 158 135 118 106 95

4655 2328 1552 1164 931 776 665 582 518 466 233 155 116 93 78 67 58 52 47

3150 1575 1050 788 630 525 450 394 350 315 158 105 79 63 53 45 40 35 32

1745 872 582 436 349 291 249 218 194 175 87 58 44 35 29 25 22 20 18

3905 1953 1302 977 781 651 558 489 434 391 196 131 98 7-8 66 56 49 44 37

2295-1148 765 574 459 382 328 287 255 230 115 77 58 46 38 33 29 26 23

1535 768 512 384 307 256 220 192 171 154 77 52 39 31 26 22 20 17 16

825 413 275 207 165 138 118 103 92 83 42 28 21 17 14 12 11 10 9

nLl~ """-" " 1 - а на правой проводится прямая линия.

irFU проводится между точкой 1 - P-j на левой шкале и точкой 6 на пряш. Числа N и гр, соответствующие ближайшей точке пересечения двух арямых на сетке номограммы, определякуг искомый план контроля. Пересечения сетки номограммы соответствуют точным решениям уравнений (20.1), (20.2).

При Ро > 0,99 план по 1юморрамме определяется следующим образом. Вычисляется 1юэффициент К == 0.01 (1 - Р„). затем находятся скорректированные уровни приемки и 1»ракшкн: f

Р; = 0,99; Р = 1 (1 р)

После этого по номограмме определяется план контроля Л, г, соответствующий и, Ра и §. Чтобы теперь получить искомый план для заданных Р» и Pi, нужно Л умйожить на /С. о

nn.u"f= = 0.982; а = Р 0,2. Определить

план испытаний. *

Решение. Вычисляем К = 0,01/0,05 = 2 и Р, - 1 - 2-0,018 = 0,964 По номограмле для Р; = 0,99, Р = 0,964, а = р = 0,2 находим N = 80.

- г. «.следовательно, искомый план контроля будет: N = 2N = 160; rg = 2

Оперативная характеристика выбранного тем или иным способом плана в координатах Р, L (Р) может быть построена с помощью номограммы на рис. 19.7. Для очередного значения абсциссы Р ордината L (Р) определяется по правой шкале. Ддя этого нужно провести прямую через точку 1 -Р на левой шкале и точку выбранного плана Л, rgp. Точка пересечения этой прямой с правой шкалой и будет соответствовать L (Р), т. е. вероятности приемки изделия с показателем надежности, равным Р, при данном плане контроля.

20.2.3. Одноступенчатый контроль в одномерном случае. Общий подход. ЬО всех случаях одноступенчатый контроль так или иначе сводится к организации наблюдений объема V с фиксацией некоторого набора (вектора) результатов наолюдении х, х, х. По окончании наблюдений вычисляется некоторая функ-

ция результатов наблюдений X {х, х, область определения которой раз-

делена на две непересекающиеся области и Х. Тем самым разделяется на две области и выборочное пространство - пространство результатов наблюдений.

Рещение о приемке (браковке) изделия принимается на основе значения X (хц Ха, .... если оно попадает в область Х, изделие принимается, если в область Ха - бракуется. Существует множество способов разделения выборочного пространства на две области с помощью различных функций X (х, х,,..., Хг. Эти способы могут иметь различные достоинства, ценность которых определяется конкретными условиями их использования. Особое место среди них занимает критерий Неймана-Пирсона, оптимальный в следующем смысле: при заданном риске а = 1 - L (Rq) он обеспечивает наименьшее значение другого риска Р = = L (Ri). На практике это означает также, что при двух заданных рисках для контроля по критерию Неймана-Пирсона требуется наименьший объем наблюдений.

В этом случае роль функции X (х, х, x„) выполняет отношение правдоподобия / {xi, Х2, .... Xri):

llv v v \ 2, < Хп \ fji)

l(Xi, Х2,..., Хп) - ----- ,

f(xi, Xi,..., Xn\Ro)

где /(xi, X2, .... Xn\Ri) и / (xi, X2, .... Xn\Ro) - функции плотности распределения выборки Xl, Х2, .... х-п при условии, что истинная надежность изделия находится на браковочном или приемочном уровне соответственно. Изделие принимается, если

и бракуется, если

/ (xi, Х2, x„) < С, (20.3)

/ (xj, Х2, x„) > С, (20.4)

где С - некоторый оценочный норматив.

Поскольку распределение наблюдаемых величин х, х, х зависит от истинной (неизвестной) надежности изделия R и объема наблюдений V, распределение отношения правдоподобия l{Xi,X2, -.Хп) также зависит от R и V. Меняя объем V и оценочный норматив С, можно обеспечить заданные значения обоих рисков. Значения 1 и С (план контроля) определяются решением системы уравнений:

Р {I (Xl, Х2, >C\R = Ro; V} = a; (20.5)

P {I (Xl, X2, x„) < C\R = Ri, V} = p. (20.6)

Решение задачи контроля существенно облегчается, если Xi, Х2, Xji представляют собой независимые и одинаково распределенные величины с плотностью распределения f{t/, R). Тогда плотность распределения выборки f (xi, х, ...

Xn\R) равна произведению Yl f {ра, R).

« = 1

Общепринятым вычислительным приемом, облегчающим решение, является замена соотношений (20.3), (20.4) аналогичными соотношениями для соответствующих логарифмов:

условие браковки

In / {xi, Х2, .... Хп) > In С = С; (20.7)

условие приемки

In / {х„ х2, Хп) < С; (20.8)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [114] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199