|
| |
|
Слаботочка Книги Во многих случаях использование точечных оценок показателей надежности недостаточно, особенно при испытаниях высоконадежных систем. Поэтому наряд} с точечными оценками, как правило, используются также интервальные оценкз показателей надежности. Зависящий от результатов испытаний х интервал (R, R) = (R (х), R (х)) образует доверительный интервал с коэффициентом доверия не менее у для показателя R, если P{R<R<R}>y. (21.3) Величина /? называется нижней (односторонней) -у-доверительной границей (оценкой) для R, если Р {R R} > у. Аналогично R называется верхней -у-довери-тельной границей (оценкой) для R, если Р {R > R) > у. 21.3. ОБЩИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ОЦЕНОК 21.3.1. Метод доверительных множеств. Рассмотрим общую задачу построения верхних и нижних у-доверительных оценок для функции g (9) от неизвестных параметров в = (б,..., в), когда каждый параметр 6; определяет распределение вероятностей статистических данных Xj, г = 1,..., т. Статистическая информация об истинном значении векторного параметра в 6 © задается вектором данных х = = (xi,..., Хт) 6 X. Здесь X - множество всех возможных значений х, а 9 - множество возможных значений параметров. Для рассмотренной в § 21.1 задачи: е = (pi,..., рт); g (в) = R (Т, р); X = {di,..., dm). Каждому в 6 0 поставим в соответствие множество в пространстве данных Gq сг X, такое, что Pe{x6Ge)>v- (21-4) Здесь Pq (А) - вероятность события А при значении параметра, равном в. При выполнении (21.4) при любом 9 значения данных х окажутся в множестве Gq с вероятностью, не меньшей у. Исходя из системы множеств {Gq} образуем систему множеств в пространстве параметров 0. Для этого каждому х 6 - поставим в соответствие Сх тех значений в, при которых х 6 Gq, т. е. С. = {в:х 6 GqX ©. (21.5) Событие {х 6 Gq) эквивалентно событию {g 6 Сх}, а следовательно, с учетом (21.4) при любом в Ре {в 6 Сх) = Ре {х е Gq} > у. (21.6) Система множеств {Сх} имеет то свойство, что истинное неизвестное значение параметра в содержится в Сх с вероятностью, не меньшей у. Система множеств Сх в пространстве параметров 0, удовлетворяющая (21.4), называется системой у-доверительных множеств. Если нижняя грань inf Ре{веСх)=7, ее в то у называется коэффициентом доверия системы множеств {Сх). Задача построения нижних и верхних у-доверительных оценок для функции g (g) может быть решена на основе соответствующим образом построенной системы •у-доверительных множеств. Построение системы должно производиться незави- симо от данных х, до проведения испытаний на надежность. Нижние и верхние у-доверительные оценки находятся затем по формулам: g(x)= inf g{Q); iW= supg(e). - eeCx eeCx Действительно, так как {eecjc{infg(e)<g(e)}; {eec4c{supg(e)>(e)}, TO с учетом (21.4) получаем: Y < Ре {6 € С J < Ре (X) < g (9)}; . T<e{eecj<Pe{g(e)<g(x)}. Полученные неравенства выполняются при любом G, и, следовательно, g{x), g (х) дают соответственно нижнюю и верхнюю у-доверительные границы для i(e). 21.3.2. Метод редукции. Рассмотрим сначала частный случай, когда результат наблюдений х и параметр 6 являются вещественными числами. Пусть F {х, 6) - функция распределения наблюдаемых данных. Введем две функции: Uj = =щ (6) HVy= Vy{e), положив иу{в) равным наименьшему из чисел и, таких, что F{u, 6) > у, а Vy (6) - равным наибольшему из чисел и, таких, что 1 - F {v, 6) > у. Для множества Се = {х : л; < Uy} при любом 9 выполнено (21.4). Точно так же соотношение (21.4) будет выполнено, если в качестве Се взять множества Ge = {х : X > Vy}. В соответствии с изложенным выше общим методом у-доверительных множеств системе {Ge} соответствуют множества Сх = {Q:x < Uy (6)}, т. е. множества, образованные теми значениями 6, при которых Uy (6) > х. Системе {Ge} соответствуют множества Сх == {в. х > Vy (6)}. Системы множеств {Сх} и {Сх} являются системами у-доверительных множеств. Выделим два важных частных случая : 1) ЫуИ Vy - неубывающие по 6; 2) Uy и Vy - невозрастающие по 6. В обоих случаях у-доверительные множества являются интервалами. В первом случае нижняя у-доверительная граница 6 и верхняя у-доверитель- ная граница 6 находятся как наименьшее и наибольшее решения уравнений: иу{Щ=х; Vy(Q)=x. Во втором случае они находятся как наибольшее и наименьшее решения уравнений: иу{в)=х; Vy{Q)=x. Таким образом, определение доверительных границ вещественного одномерного параметра сравнительно несложная задача. Такой подход может быть положен в основу метода получения доверительных оценок функции g (9) от многомерного неизвестного параметра 9 = (6i,..., 6) и векторных данных х = {х,..., Хт)- Множество = {9: g (G) = g} назовем атомом, соответствующим значению g. Построение у-доверительных границ для g (9) будем производить на основе некоторой вещественной статистики Т = Т (х). Пусть F (t, 9) - функция распределения этой статистики. Как и ранее, введем две функции от 9: Uy т = mi {t : F {t, Q) у}; (21.7) Vy (9) = sup {t:l~F [t, 9) > у}. Рассмотрим значения этих функций на множестве Г. На основе функций (21.7) можно определить две функции вещественного аргумента g, положив их равными Uy (g) = sup Uy (9); Vy (g) = inf Vy (9). (21.8) Значения параметра 9g 6 Г, в которых достигаются значения sup и inf в (21.8), естественно называть наименее благоприятными для построения доверительных оценок. Аналогично одномерному случаю можно рассмотреть графики функций (21.8). При каждом возможном значении = (9) вероятность того, что {Т (х)< Uy (g)} по построению функции Uy (g), не менее у. Точно так же событие {Т (х) > Vy (g)} при любом g имеет вероятность, не меньшую у. Следовательно, многомерная задача как бы сведена к рассмотренной ранее одномерной. Если Uy (g) и Vy (g) не убывают по g, то нижняя и верхняя у-доверительные оценки находятся из уравнений: Tix)==uyigy, T{x)=VyCg). (21.9) Причем в качестве g надо взять наименьшее, а в качестве g наибольшее из значений, удовлетворяющих (21.9). Если же Uy {g) и Vy {g) - невозрастающие функции g, то у-доверительные оценки находятся из уравнений: T{x) = uy{g); T{x)=vy{g). (21.10) Пример 21.1. Требуется найти нижнюю у-доверительную оценку для вероятности безотказной работы системы, являющейся последовательной цепочкой, составленной из элементов т типов. Функции распределения времени безотказной работы элементов i-ro типа - экспоненциальные, Fi{t) = е , i = I, т. Элементы i-ro типа испытывались по плану [NtR, Tj, в результате чего dt элементов отказало, i = 1, .... /п. Решение. Для такой системы вероятность безотказной работы Р() = ехр j-2,(0 (21.11) Для получения нижней у-доверительной границы для Р (t) достаточно найти верхнюю у-доверительную границу для (9) = К, где 9 = (Х,..., Х)- Данные об отказах представимы вектором х = (dj,..., d,„). В качестве Т (х) возьмем статистику £=1 которая является несмещенной оценкой g (9). Так как di имеют пуассоновское распределение, то среднее и дисперсия статистики Т (х) МТ=УК; ОГ = 2-(21.13) Из (21.11) следует, что множества являются многогранниками: Поскольку статистика (21.12) является суммой взаимно независимых случайных величин, то ее функцию распределения можно аппроксимировать нормальной функцией распределения со средним и дисперсией, определяемыми формулами (21.13). Для нормального распределения при 9 6 среднее MT = g- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 [121] 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |