|
| |
|
Слаботочка Книги постоянно, а наименее благоприятными являются те значения параметров, при которых дисперсия обращается в максимум. Как линейная функция Xi дисперсия ВГ обращается в максимум в одной из точек Q = {gn,.-., gtm), где 6 = 1; = О, / =5 /. Следовательно, тахВГ = тах , еег i NiTi So где So = min Ni Ti - минимальное значение суммарной наработки при испыта- ниях. функции (21.8) имеют следующий вид: «т (я) = Я + Щ Vg/So; Vy (g)==g- Uy Vg/So, где Uy - квантиль уровня у стандартного нормального распределения. Найденные функции монотонно возрастают по g. Следовательно, значение g - верхней у-доверительной границы для п (9) - находится как решение уравнения T{x) = g~UyVg/So. (21.15) Уравнение (21.15) нетрудно разрешить относительно g. Если положить ш = = Vg, то (21.15) соответствует квадратному уравнению относительно ш, корнями которого являются числа {uy/2So) ± К(«?/45о) + Т. Так как Г > О, то из (21.15) следует, что корень должен быть больше Uy/ySo- Таким образом, подходит лишь большой корень. В итоге получаем i= [iuy/2VSo) + K(«?/4So) +Г) Т. Искомое значение R (t) нижней у-доверительной границы вероятности безотказной работы в течение времени / получаем, подставив g в (21.11) вместо g(9). 21.4. НИЖНЯЯ ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ В СЛУЧАЕ БЕЗОТКАЗНЫХ ИСПЫТАНИЙ КОМПОНЕНТ Пусть элементы т типов испытываются по планам [N, U, Т], i = 1, т. Если в результате испытаний регистрируются только числа отказавших элементов, то результаты испытаний задаются вектором х = (i, dm), где di - число отказавших элементов i-ro типа. Нулевой вектор х„ = (О, 0) соответствует отсутствию отказов при испытаниях. Пусть р = {pi, Рт) - вектор, компонентами которого являются вероятности pi безотказной работы в течение времени Т элементов i-ro типа, i = 1, т. При полном отсутствии априорной информации о значениях pi вектор р следует рассматривать как точку, принадлежащую /л-мерному кубу Wm = {Р : О < Pi < 1}. Обозначим Pj, (А) вероятность события А при истинном значении параметров р. Вероятность отсутствия отказов при испытаниях Рр (х = Хо) = р ... рт"". Рассмотрим подмножество т -мерного куба \Г = {р:р...р>>1-т}. (21-16) Т. е. подмножество, образованное теми точками р из Wm, Для которых р ... рт > \ - у. Результату испытаний х поставим в соответствие множество Wlk, если х = Хо, • (21.17) Wm, если ХфХо- Случайное множество (21.17) при любом р содержит его с вероятностью, не меньшей у, т. е. для любого р б Pp{peWJ>y. (21.18) в соответствии с общей процедурой построения доверительных границ (см. § 21.2) величина R (х) = min R (Т) дает нижнюю у-доверительную границу для R (Т). При безотказных испытаниях значение нижней у-доверительной границы Р(Хо)= min Р(Г), (21.19) где минимум берется по множеству (21.16) параметров р. Обычно минимум (21.19) достигается на границе этого множества, которая соответствует уравнению Р/-/т" = 1-у. (21.20) Значение нижней у-доверительной границы (21.19) в точке Хд = (0,...,0), т. е. при безотказных испытаниях, не может быть улучшено. Из общего выражения (21.19) можно найти нижние у-доверительные границы надежности для систем с различной структурой. Для вероятности безотказной работы последовательной системы Р{х,)={1у)/, (21.21) где Ло = niin Ni. Таким образом, чтобы рассчитать нижнюю у-доверительную t границу последовательной системы в случае отказов при испытаниях, нужно в соответствии с (21.21) найти нижнюю у-доверительную границу для вероятности безотказной работы элемента с минимальным объемом испытаний. Для последовательно-параллельной системы с одинаковыми элементами внутри каждой параллельной группы нижняя у-доверительная граница для Р{Т) P = min{l-[l~(l-y)/r}, (21.22) где tii -число резервных элементов в i-й параллельной группе; Л-объем испытаний элементов i-ro типа. Рассмотрим последовательно-параллельную систему, когда элементы, составляющие параллельные группы, могут иметь различные параметры надежности. Нижняя у-доверительная граница для этого случая P=mm{l-(p,(i/.)}, (21.23) п,- - по-прежнему число резервных элементов в i-й параллельной группе; Ntj- объем испытаний /-го элемента i-й параллельной группы; yt находится из уравнения 2 iM /=1 --)=1п(1-у)-1. (21.25) Если система является параллельной группой (т = I), составленной из п различных резервных элементов, и количество испытываемых элементов различных типов одинаково: Nj = N, j = I, п, то нижняя у - доверительная граница находится в явном виде: P = l[l (l y)l/nW]n (21.26) Рассмотрим параллельно-последовательную систему с показателем надежности вида (21.6). Пусть Nij - объем испытаний /-го элемента в i-й последовательной цепочке; Ni = min Na, i = 1, .... п. Нижняя у-доверительная граница в этом случае Р = , П Е-. (21.27) где W - решение уравнения 2 NiM\+wlNio) = \n{\-y)-\ i= 1 (21.28) Для сложных систем можно получить приближенные значения для нижних у-доверительных оценок Р (Г), используя граничную нижнюю оценку для двухполюсной сети, выраженную через минимальные пути. 21.5. БИНОМИАЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ Рассмотрим систему, состоящую из т последовательно соединенных элементов с неизвестными вероятностями Pi = Р (Л-) безотказной работы ее элементов с номерами i = 1, т. Если события Ai независимы, то P=UPi 1=1 (21.29) - вероятность безотказной работы системы в целом. Предположим, что каждый элемент отдельно от системы или в ее составе прошел Ni биномиальных испытаний, в которых возникают di отказов. Требуется по данным Ni, di, i = I, т, испытаний найти у-нижнюю границу Р для Р, т. е. статистику Р, такую, что Р (Р < Р) > у. Обозначим через {а, 6) = J т"-1 (1 -т)*-1 dx Jт°-1 (1 -т) а \0 неполную бета-функцию с параметрами а, Ь. Если положить P = 7(Af,P,y), где Р = П Ри Pii-d-i/Ni; /-корень уравнения г = 1 YANP, N(l~P)+l)= 1-у, (21.30) (21.31) (21.32) разрешаемого при данных N= min Ni, Р и у относительно х. то статистика Р яв- 1 = 1.....т - ляется у-нижней границей для неизвестной вероятности Р. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 [122] 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |