|
| |
|
Слаботочка Книги Таблица 21.1 Пример записи результатов испытаний при Р = 1, т. е. при безотказных испытаниях (di = О, г = 1, .... т), P=(1 Y)1/n (21.33) Значения функции / табулированы . Пример 21.2. Рассмотрим последовательную систему из независимых элементов, ис-пытывавшихся по биномиальному плану. Получено значение Р = 0,92. Найти соответствующее значение у-нижней границы Р для Bern - роятности P=Wpi, если наименьшее из чи- сел испытаний = 15 и выбрана доверительная вероятность у = 0,90. Решение. Из формул (21.31) и (21.32) и таблиц функции получаем Р = / (15; 0,92; 0.90) = 0,75. Если ni - число испытаний до первого отказа i-ro элемента при di ni = tii при di = О, то статистика p (l -j,)i/«, (21.34) где п - наименьшая из величин щ - также является у-нижней границей для Р. Приведем еще одно решение рассматриваемой задачи. Пусть числа испытаний Ni одинаковы: Л,-"= Л. Представим исходы испытаний элементов в виде таблицы, записывая на j-e место /-го столбца 1, если i-й элемент отказал в j-м испытании, и О в противном случае (табл. 21.1: а - номер элемента, b - номер испытаний). Пусть г* - число строк таблицы, в которых наблюдались отказы. Тогда статистика P"=fiN,r,y), (21.35) является нижней у-доверительной границей для Р. При равных Ni = N эта граница лучше, чем граница Р, и в среднем лучше, чем Р. При различных Nt из~ каждой выборки объема извлекается случайная подвыборка объема = min Ni. По т таким подвыборкам вновь строится таблица исходов, после чего находится статистика Р", которая и в этом случае [Ni - различны) является у-доверительной нижней границей для Р. - Если Ро- требуемое значение для Р и условие Р > Ро считается выполнен-ньш при Р >Ро, то объем испытаний i-ro элемента, минимально необходимый для принятия решения о том, что Р> Рд, в предположении, что при испытаниях не будет отказов, находится из условия 1п(1-у) • , InPo (21.36) Приведенные три различных выражения для нижней у-доверительной грани- цы вероятности Р = Tl pf безотказной работы последовательной системы Р, Р, Р" не учитывают, что относительно значения Р по данным проектирования и опы- Статистические задачи отработки систем и таблицы для числовых расчетов показателей иа-дежиости / Под ред. Р. С. Судакова. - м.: Высшая школа, 1975. та эксплуатации аналогичных систем может иметься априорная информация в виде Рн < /в. например 0,5 <Р < 1 или РдР < 1, где Рц - нижний уровень, такой, что с вероятностью единица Р > Р. Если считать, что такая информация имеется, то можно улучшить оценки, получаемые по опытным данным для у-доверительных нижних границ. Нижняя граница уровня у для Р, получаемая по данным биномиальных испытаний, может быть найдена из выражения F"=hN,Pt,y), (21.37) где при Ni = N статистика Р - меньшая из величин Р = 1 - di/N, а коэффициент 6= max max nf-iP-.y) . (21.38) Р„<Р<1 ft = l.....т .j,) Здесь / (х, N, z) - решение уравнения х = f {N, у, z) относительно у, у = = 1 - (1 - у)/*. Учет априорной информации осуществляется, таким образом, через величину б, которую можно получать и в том случае, когда информация относительно Р отсутствует. В такой ситуации при нахождении б следует положить Рн = 0. При проведении ориентировочных расчетов и при отсутствии априорной информации, занижая получаемый результат, можно положить Ь = т. Проведенные вычисления показали, что при О < Р < 1 часто получается такой ответ: б ~ ml2. Формула для Р" позволяет планировать испытания элементов системы исходя из условия Р" > Ро с учетом информации относительно значений Р. Рассмотрим интервальное оценивание показателей надежности систем с последовательно-параллельным соединением их элементов по данным биномиальных испытаний элементов. Если в системе из v параллельно соединенных элементов элементы имеют вероятности pt = Р (Л?) безотказной работы, а события Л независимы, то Р = 1-П(1-РЛ (21.39) - вероятность безотказной работы системы. Если каждый элемент данной системы испытывался в соответствиис биномиальной схемой Бернулли, то можно найти у-доверительную нижнюю границу п для вероятности nrYlPi (21.40) t = i безотказной работы последовательной системы, составленной из тех же элементов, что и рассматриваемая система. Тогда по статистике п можно найти у-доверительную нижнюю границу для вероятности Р безотказной работы рассматриваемой параллельной системы в соответствии с соотношением p = l (l 3ti/v)v. . (21.41) В частности, получаем формулы: Р = 1 -[1 -(T(Af, 2 у))1/Т; (21.42) Р=1 [1-(1 y)l/V«]V; (21.43) P" = l-[l-(/(iV, r, y))i/T; (21.44) P" = 1 [1 -(7(Af, Я, у)УЛ\ (21.45) каждая из которых определяет у-доверительную нижнюю границу для Р. Эти формулы применяются в зависимости от наличия исходных данных и характера задачи, в которой используются интервальные оценки. Рассмотрим теперь систему, составленную из т блоков, соединенных последовательно, в каждом из которых содержится Vj элементов, соединенных параллельно. Пусть рц = Р iij) - вероятность безотказной работы /-го элемента в 1-м блоке и события Ац независимы. Тогда Р= п 1 = 1 1-П i\~Pij) /=1 (21.46) - вероятность безотказной работы системы в целом. Обозначим v меньшее из чисел vj и выберем произвольным образом из каждого блока v элементов. Если каждый из выбранных таким образом элементов испытывался в соответствии с биномиальной схемой Бернулли, то по одной из приведенных выше формул можно найти у-доверительную нижнюю границу п для вероятности т Vj я = П П Pij, (21.47) .•=1/=1 т. е. для вероятности безотказной работы последовательной системы, составленной из v„j элементов. Тогда с помощью статистики п можно найти у-доверительную нижнюю границу Р для вероятности Р из выражения р = 1 (l 3xi/v)v. (21.48) В частности, при безотказных испытаниях всех v выбранных элементов p = l [l (l -j,)i/vn], (21.49) где п - меньшее из чисел испытаний. 21.6. ИСПЫТАНИЯ СИСТЕМЫ СО «СТАРЕЮЩИМИ» ЭЛЕМЕНТАМИ Для ВФИ-распределений (обозначим этот класс Ф) выполняется неравенство [] -F (t)rt >\-F (х). (21.50) В частности, при xlt = 2 получаем Р = Р {1> t) > Р (I > 2t), и, значит, если F 6 Ф и F - функция распределения времени жизни системы, то вероятность ее безотказной работы на интервале (0,2 f) меньше, чем та же вероятность в предположении независимости ее работы на каждом из интервалов (О, f) и (/, 2t). Значение ВФИ-распределений состоит в том, что они описывают широкий класс распределений, таких как: экспоненциальное, усеченное, нормальное, распределение Вейбулла при показателе формы больше единицы и др. Существенно, что класс Ф распределений описывает функционирование систем при наличии необратимых процессов старения и накопления повреждений. Поэтому для установления того, относится или нет распределение времени жизни данной системы к классу Ф, часто достаточно ограничиться физическим рассмотрением условий функционирования системы и не прибегать к различного вида статистическим критериям проверки гипотезы о виде функции распределения, обладающих, как известно, большими погрешностями. Пусть проводятся п испытаний системы. Цель испытаний состоит в том, чтобы оценить вероятность Р = P{l>t) = \-F {t) (21.51) безотказной работы системы на интервале времени (О, t). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 [123] 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |