|
| |
|
Слаботочка Книги Величине можно придать также смысл запаса прочности системы к воздействию нагрузки t. Предположим, что испытания проводятся на время, большее или равное t. Испытания могут заканчиваться отказом или прекращаться в случайный или фиксированный момент времени х. Данный план испытаний, в котором дополнительно предполагается, что испытания независимы, а 6 Ф, назовем планом «я». Для данного плана статистика =/(", г, у)</Я является у-доверительной нижней границей для Р. Здесь обозначено: г - число отказов до момента t (число значений < f); ус - меньшая из величин Xj, превышающих t. В случае биномиальных испытаний, когда испытания проводятся на интервале (О, t), из этой формулы следует соотношение Клоппера - Пирсона Р = Рп, и, таким образом, формула (21.52) позволяет учесть эффект повышения нижней доверительной границы за счет того, что испытания выявляют запас Т) = K/t по ресурсу системы. Перейдем к интервальной оценке показателя я = П последовательной си- стемы при Pi = \ - Fi (t), Fi Ф. Рассматривается последовательная система и Pi = 1 - Ft (t) - вероятность безотказной работы 1-го элемента. Если величины li независимы и имеют распределения из класса Ф, то при равных объемах испытаний в качестве у-доверительной нижней границы для вероятности безотказной работы системы Jt= П [l-FiiO] 1=1 может быть принята статистика где - число отказов на интервале (О, t), определяемое путем построения таб- лицы типа 21.1 для интервала (О, 0; К-меньшее из минимальных продолжи- тельностей наблюдения Ki > t мя всех т элементов. Если величины ; зависимы, а меньшая из них имеет ВФИ-распределение, то статистика (1-у)/6% Ut, . О , =,<, min min lij,ni=n, t=l.....m /=1.....n является у-доверительной нижней границей для вероятности = Р(П(1г>0) успешного функционирования системы из т последовательно соединенных элементов. Рассмотрим интервальную оценку показателя 1 -UPisit) i=i L /=1 последовательно-параллельной системы при Ftj 6 Ф. Если элементы системы независимы, а величины %ij имеют ВФИ-распределения, то статистика Р = 1 -(1 я1 /v)v V = jninv., - - i=\.....т является у-доверительной нижней границей для Р, где я - нижняя граница для произведения п = ПП pi], определяемая по данным, получаемым в соответствии с планом «т> для каждого из испытываемых элементов, Pt} = 1 - Fis it), Fij 6 Ф- 21.7. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ С НОРМАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ НАРАБОТКИ Предположим, что наработка до отказа ij каждого элемента последовательной системы подчиняется нормальному распределению с неизвестными параметрами и Oj, i = 1, tn, а отказы независимы. Кроме того, предполагается, что Ti>3oi, поэтому вероятности событий 1; < О можно считать равными нулю. Тогда вероятность безотказной работы системы за время Pito) =ni{ht), где hi = ; Ф(2) =-!- f e-/rf/-функция Лапласа. Or (2я)1/2 Л В дальнейшем для простоты примем = 1. Требуется определить у-доверительную нижнюю границу Р для вероятности Р = Р (/q) по результатам испытаний элементов по плану [NUN], i - 1, т. Обозначим через наработку до /-го отказа элемента i-ro типа, / = 1, .... Ni, i = 1, т. Тогда точечные оценки для параметров hi имеют вид hi = {fi- ti)ISu По найденным величинам hi определяем последовательно: Л© = min hi\ Ро = inin Ф (/ij), используя таблицы нормального распределения; • квантиль h {Р) = ho нормального распределения уровня; Р; нижнюю доверительную границу б (Л, \ - у) для параметра нецентральности б нецентрального распределения Стьюдента по известным величинам N - = min Ni, hf) и у. Величина Р вычисляется далее по формуле р=Ф(б/УлГ). Хорошую точность обеспечивает более простая формула, не требующая таблиц нецентрального распределения Стьюдента: Р~Ф(/1„-(/(Л-1)-1/2 (l+/ig/2)i/2), где Uy - квантиль нормального распределения. -iotlti], (22.1) Глава 22 ВЫЧИСЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ, СОСТОЯЩИХ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ НАРАБОТКИ 22.1. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ БЕЗ ВОССТАНОВЛЕНИЯ (МЕТОД ПЛОСКОСТИ) Предположим, что система состоит из It компонент элементов т типов, со- 1 = 1 единенных последовательно. Число компонент г-го типа в системе It, i = 1, .... т. (В частности, при li = 1 все компоненты системы различны.) Обозначим ti, i = 1.....m, заданное время работы компоненты г-го типа; = ti/to - доля времени работы компоненты i-ro типа в общей продолжительности работы системы tg = шах ti. Наработка т до отказа i-й компоненты подчи- няется экспоненциальному распределению с параметром Я, i = 1, /п, а отказы компонент независимы. Тогда вероятность безотказной работы системы за время to /(g=exp где Ki - неизвестная интенсивность отказов компонент i-ro типа, г= 1, т- Величины t,,, li, Qi предполагаются известными. Требуется найти односто" ронние доверительные границы Р (нижнюю) и Р (верхнюю) для показателя Р (о) с требуемой доверительной вероятностью у. Если Р и Р определены, то тем самым определен двусторонний доверительный интервал уровня у = 2у - 1. Предположим, что исходными данными для определения Ри Р служат результаты испытаний компонент по одному из следующих планов: ~ [NiU {R)Ti] - испытания Ni образцов г-го типа в течение заданного времени Ti без замены (или с заменой) отказавших, t = 1, /п; [NiU (R) ri] - испытания Ni образцов i-ro типа до появления отказов беа замены (или с заменой) отказавших, i ~ I, т. Введем обозначение Л == 2 бгДг- Тогда величины Р и Р могут быть опреде- t=i - лены по формулам: Р = ехр(-4Л); (22.2) Р = ехр(-оЛ), (22.3) где Л, Л - соответственно верхняя и нижняя односторонние доверительные границы для параметра Л уровня у. Величины Л и Л в зависимости от планов испытаний определяются следующим образом. Для планов испытаний типа [NiU (R) Ti] по результатам испытаний фиксируется число отказов dt образцов i-ro типа и вычисляются суммарные наработки по формуле у rf~\-{Nidi)Ti при илаве и, т (22.4) NiTi при плане R. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 [124] 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |