|
| |
|
Слаботочка Книги Для планов испытаний iNtU (R) rJ величины St определяются по формуле г 2ii-i~)(у -Ty-i) при плане U, Si = Nixr, при плане R. Зная величины Si, искомые значения Л и Л находятся по формулам; Л = 4-1(0,) max (Bili/Si); 1=1.....m A=-I-x!-v(D2) min (e,Z,/S,), /=1,...,m (22.5) (22.6) (22.7) где Xv (Di) П Xv (Dg) - квантили -распределения соответственно с числом степеней свободы Di и уровня у. Величины Di и определяются по формулам: 2 2г+2 при плане \Ni{](R)Ti\, /=1 2 2 Гг при плане [Л V (R) rJ; 2 21 при плане [iVj f/(P) Т;], (22.8) D2 = (22.9) 2 2i при плане [.V f/(P) rJ. Пример 22.1. Пусть: m = 2, т. е. система состоит из элементов двух типов; = 3; 2 = 2 (в систему входят три элемента первого типа и два элемента второго); 6х = 02 = 1 (все элементы работают одно и то же время о)- Испытания элементов первого типа проводились по плану [NiUTi], второго-по плану [NRT], причем: Л, = 31; Тх = 2 г"о; = 20; Т2 = 3 to; до моментов Tl и Т2 зафиксированы следующие числа отказов: dx = 2 и 2 = 1. Требуется определить односторонние доверительные границы Ри Р для вероятности безотказной работы системы за время при у == 0,9. Решение. Учитывая, что dx < Лх. можно суммарную наработку без большой погрешности вычислить по формуле Si = Тх (Лх - di/2) = 60 о-Для элементов второго типа по формуле (22.4) находим S2 = N2T2 = 60 о- По формулам (22.8) и (22.9) (верхняя строка) определяем Di = 8 и D2 = 6, а затем по у = 0,9 и таблицам храспределения получаем Хо.э (8) = 13,4 и Х8.1 (6) = 0,87. Учитывая далее, что IJSi = 0,05/о. 2/2 = 2/60 to= 0,03/о. т. е. max (h/Si) - 0,05/0. а min (li/St) = 0,03/о. находим по формулам (22.6) и (22.7) значения: Л =-i- Х8.9 (8)-0,05/о =0,39/о; Л=-i-х8.1 (6)-0,03/о = 0,013/0. По формулам (22.2) и (22.3) получаем окончательный результат: Р = ехр (-0,33) = 0,72; Р = ехр (- 0,013) = 0,987. Одновременно находим двусторонний доверительный интервал (Р, Р) = (0,72; 0,987) уровня у = 2 - 1 = 0,8. ~ Пример 22.2. Пусть: jV = 2; = 1; 6,- = 1, испытания элементов первого типа проводились по плану Шиг], второго - по плану [TVaral, причем: Л1=5; h = 1; Тг. = 2,5 to; N2 = 2; г2 = 1; т,, = 4,8 Потребуется определить для вероятности безотказной работы этой системы двусторонний доверительный интервал (РР) уровня у = 0,9. Решение. Для этого достаточно найти односторонние доверительные границы Р и Р уровня у = 0,95. По формуле (22.5) находим: Si = 12,5 о; = 9,6 tg, т. е. шах (1/50 = = 1/9,6 to, а min (l/Sj) = 1/12,50- По формулам (22.8) и (22.9) получаем Di = = 0=4, после чего по таблицам х-распределения определяем значения квантилей: Хо,о5 (4) = 9,49; хо,о5 (4) = 0,71 - и по формулам (22.6) и (22.7) находим: Л=- %g.95(4) 1/9,6<о-0,49До; Л = Х§.05 (4)/12,50 =0,03/0- По формулам (22.2) и (22.3) получаем Р = 0,612 и Р = 0,97, т. е. двусторонний доверительный интервал уровня у = 0,9 равен (0,612, 0,97). 22.2. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА ГОТОВНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО УСТРОЙСТВА Обозначим через 1 и т) соответственно наработку до отказа и время восстановления изделия, для которого по результатам эксплуатации (испытаний) требуется оценить коэффициент готовности (22.10) где Т = Mi - средняя наработка на отказ; т = Мт] - среднее время восстановления. Предполагается, что случайные величины g и т] подчиняются экспоненциальному закону распределения с параметрами К = 1/Ти(г = 1/т соответственно. В качестве исходных данных используются: 1) количество образцов п изделий, находящихся в эксплуатации (на испытаниях), количество г отказавших из них и их наработки: li, ia,..., (предполагается, что оценка показателя К производится после появления г-го отказа); 2) количество т отказов изделия, по которым велись восстановительные работы и фактические времена восстановления: r\i, ti2,..., щ, d < т. По этим данным требуется определить нижнюю К и верхнюю К доверительные границы, соответствующие доверительным вероятностям yi и у, т. е. Р(КЮ = Уг, рГК>К) = У2- В частности, можно полагать Yi = Уа = То- Если найдены односторонние границы К я К уровней yi и у соответственно, то одновременно найден и доверительный интервал (К, К) для показателя К уров-ня у = у1 -f у2 - 1. При У1 = Уг = Уо имеем у = 2 уд - 1, и, следовательно, при заданном уровне у для двустороннего интервала нужно определять односторонние/с и уровня уо = (1 + у)/2. Перепишем соотношение (22.10) в виде К=-~. (22.11) где р = т/Т, и укажем правило нахождения односторонних доверительных границ р (нижней) и р (верхней) уровней у2 и у2 соответственно. Тогда границы К. уровня Ух я К уровня у2 будут иметь вид: К= 1/(1 + (22.12) :=l/(l-fp). (22.13) Для определения границ р и р уровней у2 и ух нужно предварительно вычислить суммарную наработку п изделий по формуле S =li + (n-r)%, (22.14) если восстановление отказавших изделий не производилось, и по формуле 5 = nlr. (22.15) если отказавшие изделия были восстановлены и работали дальше. Затем нужно вычислить суммарное время восстановления где d - число отказавших образцов из общего числа т, на которых к рассматриваемому моменту окончено восстановление. Обычно, как правило, бывает d - т. На основе величин S, V, г и d определяются величины р и р по формулам: P=-/v.(2-.2d); (22.16) P = Y /.-v.(2-,2d), (22.17) где (2r, 2d) и fy (2r, 2d) - квантили -распределения Фишера с 2r и 2d степенями свободы уровней ух и 1-у2- Пример 22.3. Пусть исходные статистические данные имеют вид (время в часах): п = 5: gi = 845; = 1035; ls< 1045; = ИбО; ?5== 1195 (r = n = 5); m = 5: Til = 5; Ti2 = 8; rig = 15; ti* = 60; % = 65 (d = m =5). Решение. По формулам (22.14) и (22.15) находим S = 5280, V = 153. По таблицам -распределения /0,9 (10,10) = 2,32. Следовательно, по формуле (22.16) при Ух = 0,9 имеем p„j, =J2i5 . 2,32 = 0,067, 1056 откуда по формуле (2.12) находим К=--=0,937. (22.18) - l-f0,067 Пример 22.4. Пусть в условиях предыдущего примера п = 25, аг = 5сте-ми же значениями число восстановлений /п = 5 и tjj - те же. Требуется определить двусторонний доверительный интервал для К уровня у = 0,8. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 [125] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |