|
| |
|
Слаботочка Книги 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 [126] 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 Решение. По формулам (22.14) и (22.15) получаем S = 29180 и У = 153. Находим вначале односторонние границы К я К уровня уо = 0,9. Табличные значения: (2г, 2т) = /„,9 (10,10) = 2,32; /7-v„ ir, 2m) == /„.1 (Ю.Ю) = 0,43. Заметим, что /i v (а, Ь) = /v* Ф, а), т. е. /0,1 (10,10) = = = 0,43. Следовательно, по формулам (22.16) и (22.17) имеем: Ро 9 = - 2,32 = 0,012; 29 180 5 153 5 ро,9 =-. -0,43=0,002, откуда по формулам 29 180 5 (2.12) и (2.13) находим к; = 1 = 0,988 и = 0,998. Интервал (0,988; 0,998) является двусторонним доверительным интервалом для К уровня 7 = 08. 22.3. МЕТОД ЛИНДСТРЕМА-МАДДЕНА ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Идея метода заключается в формировании «системных» испытаний на основе результатов испытаний по отдельным элементам. Вероятность безотказной работы последовательной системы в течение заданного времени t имеет вид  (22.19) где Xi - параметр интенсивности отказов г-го элемента. Пусть Sj, di - соответственно суммарная наработка и число отказов, зафиксированные на испытаниях элементов г-го типа. Нижняя у-доверительная граница Pv для показателя надежности системы Р, вычисляемая методом Линдстрема - Маддена, определяется как Р=ехр (22.20) где Sm = min Sj - минимальный объем испытаний по элементам (для опреде- ленности считаем, что минимальный объем имеет место для элемента с последним индексом т), а D = y \di (22.21) - приведенное к минимальному объему испытаний S число «системных» отказов. Если в системе имеется различное число элементов различных типов, т. е. Р = ехр (/, - число элементов г-го типа), то нижняя у-доверительная граница вычисляется по аналогичной формуле Pv=exp Xv(2P-f2) 2Sm (22.22) (7r)=r"(f) Наиболее хорошо метод Линдстрема - Маддена работает при равных (или близких) объемах испытаний Si элементов системы. Если объемы испытаний по элементам различаются существенно, то эффективность метода снижается. 22.4. МЕТОД ПОДСТАНОВКИ Предположим, что система составлена из элементов т различных типов и распределение наработки элементов г-го типа экспоненциальное; Ft {t) = = 1 - ехр (- Xlt) - с неизвестным параметром интенсивности отказов Хи г = 1, т. Пусть Xt, Xt - соответственно верхняя и нижняя односторонние доверительные границы с коэффициентом доверия у для параметров Xt, вычисляемые по стандартным формулам; Xt = X? {Idi + 2)/2 St, Xj = x?-v (2d/ + 2)/2Sb (22.24) где ui, Si - соответственно количество отказов и суммарная наработка, полученные в ходе испытаний элементов i-ro типа, / = 1, ..., т; Ха («) - квантиль уровня а для х-распределения с п степенями свободы. Для планов испытаний типа [Ni R Ti] в (22.24) суммарная наработка St = NtTt - заранее фиксированная величина, dt - наблюдаемое в ходе испытаний случайное количество отказов. Для планов испытаний типа [Л R rt], [Ni U rt] в (22.24) dt = rt - I - заранее фиксированная константа, 5; - наблюдаемая в ходе испытаний случайная величина - суммарная наработка испытываемых элементов г-го типа. Обозначим; Х= (Х,..., А„) - вектор параметров, а Х = (Xi,..., Х), Х = = (Xl,..., X„t) - векторы соответствующих верхних и нижних у-доверительных границ. Пусть Р (Х) = Р (Х, Х) - функция, выражающая зависимость, вероятности безотказной работы системы от показателей надежности элементов Функция Р (Х) обычно монотонно убывает по каждому Xt. Требуется построить доверительные границы для неизвестного значения системного показателя Р = = Р (Я Для ряда моделей сложных систем использование в процессе вычисления величины Р = Р (Х) вместо неизвестных параметров Xt их верхних доверительных границ с коэффициентом доверия у (при у > 1 - е~ » 0,777) дает в результате нижнюю доверительную границу Р для Р с тем же коэффициентом доверия. Другими словами, доверительная оценка Р вероятности безотказной работы системы с заданным коэффициентом доверия у может производиться подстановкой у-доверительных оценок для показателей надежности элементов в функцию, выражающую зависимость вероятности безотказной работы системы от этих показателей; Р = Р (I). (22.25) Перечислим некоторые часто используемые в теории надежности модели сложных систем, для которых справедлива указанная процедура. 22.4.1. Последовательная система. Система выходит из строя в случае отказа . любого элемента. В предположении, что отказы различных элементов происходят независимо друг от друга, вероятность безотказной работы системы к заданному моменту времени t>0 определяется как произведение: р = П (f), где т - число различных элементов системы; Pi (f) = ехр (- Kit) - вероятность безотказной работы t-ro элемента, г = 1, т. В переменных Х = {К,..., Хгп) показатель надежности системы Р записывается как Р {%) = ехр (- 2 i). Вычис- ление нижней у-доверительной границы для R может производиться методом подстановки: Р = Р() = ехр (22.26) Аналогично рассматривается случай, когда в последовательной системе может быть несколько однотипных элементов с одинаковыми показателями надежности. Пусть li - число элементов г-го типа с параметром ki, i = 1, т. Вероятность безотказной работы системы и ее нижняя у-доверительная граница определяются при этом как: Р=и р/ (/) = ехр ( - 2 о: (22.27) / m \ Р = ехр -t liKi \ < = 1 (22.28) 22.4.2. Последовательно-параллельная система (нагруженный резерв). Рассмотрим более общий по сравнению с предыдущим случай, когда отдельные элементы в приведенной выще последовательной схеме могут резервироваться однотипными элементами. Предположим, что г-й элемент резервируется tii-1 резервными элементами (в нагруженном режиме). Структурная схема системы представляет собой последовательное соединение т резервных групп (подсистем), г-я резервная группа составлена из tii однотипных элементов с параметром Ki, i - = 1, т. В этом случае вероятность безотказной работы системы (22.29) где Ri (pi) = 1 - (1 - Рг)" - надежность г-й подсистемы; р; = ехр (- Kit), . г = 1, т. В переменных К вероятность безотказной работы системы (22.29) может быть записана как Р (Ц = ехр [-/ (Ц], /(>) = i h(h), и(Ч = "In[1 -(1 е-*>)]. (22.30) (22.31) 1 = 1 Нижняя у-доверительная граница для Р (То) может вычисляться методом подстановки: Р = ехр т -fiih) (22.32) Приведенные примеры последовательной и последовательно-параллельной (с нагруженным резервированием) систем являются частными случаями более общей схемы, которая заключается в следующем. Пусть система составлена из т 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 [126] 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |