|
| |
|
Слаботочка Книги последовательно соединенных подсистем, i-я подсистема составлена из однотипных элементов с одинаковым параметром интенсивности отказов Kt и вероятность безотказной работы системы Р()= П Riihi) (22.33) где Ri (Xif) - вероятность безотказной работы г-й подсистемы, г = 1, т. Тогда, если распределение времени безотказной работы каждой подсистемы есть ВФИ, то нижняя у-доверительная граница для Р (к) может вычисляться методом подстановки: т P=URi(Kt)- (22.34) 1 = 1 Рассмотрим другие примеры, являющиеся частными случаями (22.33), (22.34). 22.4.3. Последовательное соединение подсистем типа й иэ я (нагруженный резерв). Предположим, что г-я подсистема составлена из щ резервных элементов. Отказ г-й подсистемы происходит в случае отказа ki и более элементов, 1 fej < <rti. Рассмотренная выше последовательно-параллельная система является частным случаем данной схемы при fej = п,, i = 1, т. Вероятность безотказной работы системы определяется выражением (22.33), где RiMCiii-e-Yie-p-. (22.35) 22.4.4. Последовательно-параллельное соединение (ненагруженный резерв). Пусть г-я подсистема составлена из одного основного и - 1 запасных элементов, находящихся в ненагруженном .резерве. В случае отказа основной элемент заменяется одним из запасных, который после отказа снова заменяется и т.д. Отказ г"-й подсистемы наступает в момент отказа последнего из - 1 резервных элементов. В данном случае время безотказной работы г-й подсистемы gi= 21 (22.36) где Si, tn - независимые случайные величины, одинаково распределенные по экспоненциальному закону с параметром к, i = 1,...., m. Вероятность безотказной работы системы имеет вид (22.33), где- (kit) - дополнительная функция распределения nj-кратной свертки экспоненциального распределения: R,(kit) = e-i "2. (22.37) d = 0 22.4.5. Последовательно-параллельно-последовательное соединение (нагруженный резерв). Предположим, что г-я подсистема составлена из щ параллельно соединенных одинаковых последовательных цепочек элементов, каждая из которых включает в себя щ последовательно соединенных разнотипных элементов с параметрами ki], / = 1, .... Qi, г = 1, m, где г - номер подсистемы; / - номер элемента внутри подсистемы. В системе, таким образом, допускается резервирование как отдельных элементов, так и отдельных подследовательных цепочек элементов. В данном случае вероятность безотказной работы системы Pm=nRi{Ait), (22.38) Ri{Ait)l-(\-e-i*P; (22.39) Л, = 2 (22-40) Во всех приведенных схемах нижняя у -доверительная граница вероятности безотказной работы системы может вычисляться методом подстановки как Р = = Р (Ц- 22.4.6. Системы со сложной структурой. Широкий класс сложных структур описывается известной моделью монотонных структур. Пусть Qj = I - e~V - вероятность отказа за время t /-го элемента системы. В случае высокой надежности элемента Qj » kjt. Обозначим: - набор индексов элементов г-го минимального сечения системы; - событие, состоящее в том, что к моменту t отказали все элементы г-го минимального сечения Si; А - событие, состоящее в том, что произошел отказ системы. Вероятность отказа системы (к моменту t) определяется выражением д = Р(Л) = РД Лг, . (22.41) где - число минимальных сечений системы. В случае высоконадежных элементов (Kj П< 1) из (22.41) следуют приближенные соотношения для Q: Q« 2 Pii)=I> и qj П iht)- (22.42) !=I t=l;GS. i=I/GSj Эти соотношения справедливы с точностью до вероятностей отказов одновременно нескольких сечений, имеющих более высокий порядок малости. Кроме того, величины (22.42) дают для Q верхние оценки: Q<2 П9><2 П (hi)- (22.43) < = I/eS. .•=1/gS. Таким образом, для высоконадежных систем оценка Q приближенно сводится к оценке функции пуассоновских параметров: 2 П (Xjt). (22.44) 1=1 /gs. Для последовательно-параллельных структур каждый параметр Xj входит лишь в одно из произведений в (22.44). Другими словами, каждый элемент входит только в одно сечение. Существенной особенностью сложных структур является то, что каждый параметр kj может входить в различные произведения в (22.44). Другими словами, каждый элемент может одновременно входить в несколько различных сечений. Кроме того, относительно параметров некоторых элементов может быть известно, что они совпадают (например, при резервировании однотипными элементами). В этом случае функция (22.44) принимает вид Q« 2 П ihtr, (22.45) где Пц - число идентичных элементов с параметром Kj в сечении Si. Верхняя у-доверительная граница для функций пуассоновских параметров вида (22.44), (22.45) может строиться методом подстановки. Таким образом, для высоконадежных систем нижняя -у-доверительная граница вероятности безотказной работы Р = \ - Q может строиться методом подстановки практически для произвольных (монотонных) структур. 22.5. МЕТОД ФИДУЦИАЛЬНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Существующие аналитические решения далеко не всегда оказываются достаточно эффективными, поэтому часто используются различные приближенные методы. Рассмотрим метод построения доверительных границ для показателей надежности сложных систем, основанный на известном фидуциальном подходе Фишера, для случая экспоненциального закона распределения времени безотказной работы элементов. Пусть Ki - неизвестный параметр интенсивности отказов для элементов г-го типа системы, г = 1, т. Предположим, что в ходе испытаний элементов г-го типа, проводившихся до наблюдения Г; отказов, была получена суммарная наработка S,-. Функция распределения результата наблюдений Sj при данном фиксированном значении параметра Ki имеет вид Fi (Ki, Si) = 1 -e-ii У 1 . (22.46) Эта функция может быть записана также через стандартное ?-распределение с 2гг степенями свободы: (Ki, Si) = xlr iKiSi), где Xn (0 - функция распределения для закона % с п степенями свободы. При каждом фиксированном значении Si функция Fi (Ki, Si) обладает всеми формальными свойствами функции распределения по параметру Ki. Она монотонно возрастает по Fi (О, 5j) = О, Fi (оо, Sj) = 1. Указанное распределение параметра Ki, отвечающее данному значению результата наблюдений Sj, называется фидуциальным. Пусть R (Ц = R (Кх, Kjn) - функция, выражающая зависимость показателя надежности системы от параметров интенсивности отказов элементов. Предположим, что по каждому типу элементов имеется результат испытаний (rj, Sj), i = 1, т. Функция фидуциальных случайных величин R (I) также становится фидуциальной случайной величиной с некоторой функцией распределения Ф (R). Нижнюю и верхнюю границы -у-фидуциального интервала (J, f*) для R определим из условий: Ф (/*) = - еь (22.47) ф (/*) = 1 е„ (22.48) где Y = 1 - е , - eg. Аналитическое вычисление Ф (R) чаще всего затруднительно. Поэтому в большинстве случаев фидуциальные границы для характеристик сложных систем вычисляются на ЭВМ методом статистических испытаний. При этом исходя из фиксированного набора результатов наблюдений (rj, Sj), i = 1, m, в очередной fe-й реализации на ЭВМ сначала для каждого г-го типа элементов формируется случайное значение параметра Ki в соответствии с законом распределения xlr- (2 ?jSj). При формировании случайных величин Ki удобно полагать К = 11(2 Si), (22.49) где I - случайная величина, сформированная на основе закона xlr- Далее исходя из полученного набора значений "к = (К,..., Я) вычисляется очередное k-e значение системного показателя R = R (). При этом возможны два случая. 1. Известна аналитическая зависимость показателя надежности системы от параметров элементов. Значение Rk вычисляется подстановкой этих параметров в функцию R (%). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 [127] 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |