|
| |
|
Слаботочка Книги 2. Аналитическая зависимость R (к) неизвестна, но при каждом наборе параметров показатель надежности системы может быть найден численно с помощью отдельной программы (чаще всего снова методом статистических испытаний). В этом случае очередное k-e значение вычисляется с помощью указанной отдельной программы. При этом метод статистических испытаний применяется дважды: при формировании случайных (фидуциальных) значений параметров и затем при вычислении зависимости R = R (к). После того, как очередное значение R, найдено, переходят к следующей реализации. Исходя из полученных в реализациях значений показателя надежности системы строится эмпирическая функция распределения. В качестве оценок для нижней и верхней фидуциальных границ берутся квантили эмпирического-распределения уровней е, 1 - Eg. Так, если N = 100, = Eg = 0,05, у = 0,9, то в качестве оценок для /*, /* берутся соответственно величины R, Rg в упорядоченном ряде значений Ri < < ••• < Rioo- Искомые фидуциальные границы при этом могут быть вычислены с тем большей точностью, чем больше число реализаций Л. В тех случаях, когда испытания элементов г-го типа проводились до наблюдения заранее фиксированной суммарной наработки Sj (например, по планам типа [Ni R Ti], Si = NiTi), в результате чего было получено di отказов, фидуциальное распределение параметра ki по-прежнему имеет вид (22.46),, где необходимо положить ri = di + I. Таким образом, для планов испытаний указанного типа моделирование производится так же, как описано выше (при г, = + 1). Во многих случаях фидуциальный подход дает довольно эффективные границы по сравнению с существующими вариантами метода доверительных множеств. Другим достоинством фидуциального подхода является то обстоятельство, что при наличии современных ЭВМ его применение мало ограничивается такими факторами, как сложность структуры системы. В то же время необходимо отметить, что в многомерном случае (т > 1) у-фидуциальные границы не являются у-доверительными в обычном смысле. Другими словами, если, например, /* - верхняя у-фидуциальная граница для R (к), то основное соотношение {/* > > Р{к)} > У может нарушаться при некоторых к. В этом смысле фидуциальный подход дает границы для показателя надежности, коэффициент доверия которых не гарантируется. Тем не менее для многих распространенных в теории надежности моделей сложных систем фидуциальный подход дает границы с гарантированным коэффициентом доверия. Это относится в основном к оценке надежности системы снизу. 22.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ НИЖНЕЙ ДОВЕРИТЕЛЬНОЙ ГРАНИЦЫ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ СИСТЕМЫ БЕЗ ВОССТАНОВЛЕНИЯ МЕТОДОМ ФИДУЦИАЛЬНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пусть система состоит из элементов т различных типов, ki - параметр интенсивности отказов элемента г-го типа, R = R (ki,..., к) - функция, выражающая зависимость показателя надежности системы R от параметров надежности элементов. Пусть Si, di - соответственно суммарная наработка и число отказов, зафиксированные в ходе испытаний элементов г-го типа. (Предполагается, что результаты испытаний по различным типам элементов независимы.) Фидуциальное распределение параметра ki при данных Sj, di формируется следующим образом. Полагаем h = hf(2 Si), (22.50) где li - случайная величина, имеющая х-раепределение с 2di + 2 степенями свободы. Если испытания элементов г-го типа проводились по плану типа [NiX X Uri] или [NiRri] (до наблюдения fi отказов), то полагаем di = ri + 1. При мо- делировании на ЭВМ фидуциальную случайную величину удобно формировать как сумму: К = ~ yit- (22-51) где Tift - независимые одинаково распределенные случайные величины, каждая из которых имеет экспоненциальное распределение с плотностью f{t) = е-. Способы формирования (22.50), (22.51) эквивалентны. Введем параметры Zj = In Ki. Нижняя у-доверительная граница для R может строиться методом фидуциальных вероятностей (как нижняя у-фидуциаль-ная граница), если функция R (•), записанная в переменных г: (z)-P(eS eS..., eS • (22.52) выпукла вверх по вектору z = (Zi,...., z)- Коэффициент доверия получаемой при этом границы не меньше у. Аналогично верхняя у-доверительная граница для R может строиться методом фидуциальных вероятностей, если функция (22.52) выпукла вниз по Z. Далее обозначаются: Р = Р (О-вероятность безотказной работы системы в течение заданного времени t; Т - средняя наработка системы. Ниже приводятся основные типы систем, для которых построение нижней доверительной границы для показателей Р, Т по результатам испытаний элементов может производиться методом фидуциальных вероятностей. Далее везде предполагается, что отказы различных элементов системы происходят независимо друг от друга. 22.6.1. Последовательная система. Пусть ni - число элементов i-ro типа в системе. Система отказывает в случае отказа любого из элементов. Показатели Р, Т имеют вид: Р=П А-Ч)=ехр S М (22.53) 1=1 \ 1=1 / (т \ 1 = 1 / (22.54) где Pi (t) == ехр (- Xit) - вероятность безотказной работы за время t одного элемента /-ГО типа. Оценка снизу показателей надежности Р, Т сводится к оценке сверху величины Р=2«г?1. (22.55) 1 = 1 В соответствии с указанными выше результатами верхняя у-доверительная граница Ry для R может строиться методом фидуциальных вероятностей. После чего нижние у-доверительные границы для Р, Т определяются как: Pyexpi-Ry.t); T = (Ry)-\ (22.56) Пример 22.5. Рассмотрим последовательную систему из двух элементов. Результаты испытаний по элементам: суммарные наработки Si = 2000 ч, Sa = 500 ч; числа отказов di = 20, = 4. Требуется построить нижнюю доверительную границу Ру с коэффициентом доверия у = 0,9 для вероятности безотказной работы системы Р за время / == 1 ч. Решение, В данном случае различные методы построения доверительных границ дают следующие значения Ру. Метод плоскости: Р = ехр Г-=0,937. 2.500 Метод подстановки: Р=ехр--------1=0,970. - \ 2.2000 2-500 j [ /2 (20) \ Метод Линдстрема-Маддена: Р = ехр(.---- =0,972. - 2.500 I Метод фидуциальных вероятностей: Ру = 0,974. . Для последовательных систем метод Линдстрема-Маддена дает более точные нижние границы при малых числах отказов и при равных (или близких) объемах испытаний Si различных элементов. При увеличении числа отказов и существенно различных объемах испытаний элементов более эффективным становится метод фидуциальных вероятностей. Этот метод тем не менее является более сложным в вычислительном отношении. Поэтому для последовательных систем (без восстановления) из существующих решений, по-видимому, наиболее целесообразно применять метод Линдстрема-Маддена. Для последовательных систем можно использовать также подход, основанный на структурах Неймана для экспонентных семейств распределений. Для линейных функций пуассоновских параметров этот подход позволяет строить оптимальные (несмещенные) доверительные границы. Данный подход тем не менее применим только для линейных функций (т. е. только для последовательных систем) и требует довольно сложных вычислений. 22.6.2. Последовательно-параллельная система. Пусть система состоит из т резервных групп, i-я группа - из tii однотипных резервных элементов с параметром интенсивности отказов Ki, i = 1,..., т. Резерв внутри каждой группы - нагруженный. Вероятность безотказной работы системы в течение времени t определяется формулой Р=П (1-9-0, (22.57) где 9г = 1 - е~* - вероятность отказа одного элемента /-й группы. Нижняя 7-доверительная граница для Р может строиться методом фидуциальных вероятностей. Аналогичный вывод справедлив и в случае, когда внутри отдельных резервных групп режим резервирования - ненагруженный. 22.6.3. Системы со сложной (монотонной) структурой. Предположим, что структура системы такова, что отказы элементов не улучшают состояния системы в целом. Структуры, удовлетворяющие этому естественному условию, называются монотонными. Для вероятности безотказной работы системы справедлива нижняя оценка, основанная на понятии минимального сечения: Р>П 1-П9Л. (22-58) 1 = 1 где Qi = I - е-/ - вероятность отказа у-го. элемента системы, Xj - параметр интенсивности отказов /-го элемента; Si - набор индексов элементов, входящих в t-e минимальное сечение; - число минимальных сечений систгмы. В оценку (22.58) вместо qj подставим (7.j t), что приводит к некоторому ее занижению, незначительному в случае высокой надежности элементов системы: Р> п 1 = 1 1- П iht) ieSi (22.59) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 [128] 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |