|
| |
|
Слаботочка Книги Вместо оценок (22.58), (22.59) можно использовать также более грубые: Rl- П gj>i- и (ht)- (22.60 В случае высоконадежных элементов {Kjt<. 1) все приведенные оценки эквивалентны величине Р с точностью до малых более высоких порядков: N г 1= 1 1- П (Kjt) 1- S П (hi)- (22.61) Исходя из указанных выше результатов нетрудно показать, что нижняя у-доверительная граница как для правой части (22.59), так и для правой части (22.60) может строиться методом фидуциальных вероятностей. В вычислительном отношении построение доверительных границ для оценки (22.59) или (22.60) не всегда удобно и может оказаться сложнее, чем непосредственно для самого показателя Р. Но в силу приближенного равенства (22.61) метод фидуциальных вероятностей может приближенно применяться не только к указанным оценкам, но и непосредственно к самому Р. Это означает, что для систем с высоконадежными элементами нижняя у-доверительная граница Ру может строиться методом фидуциальных вероятностей практически для систем с произвольной (монотонной) структурой. Чаш,е всего этот метод дает более высокие значения Ру (при данном у), чем метод подстановки, хотя и требует более сложных вычислений. 22.7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ С ВОССТАНАВЛИВАЕМЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ МЕТОДОМ ФИДУЦИАЛЬНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Предположим, что система состоит из элементов т различных типов и как времена безотказной работы, так и времена восстановления (ремонта) элементов имеют экспоненциальные распределения. Обозначим Kt, р,- соответственно интенсивность отказов и интенсивность восстановления элемента t-ro типа. Требуется построить доверительные границы для некоторого показателя надежности системы R по имеющимся результатам испытаний элементов. Так же как и в предыдущем параграфе, предполагается, что результаты испытаний по параметру Xt заданы в виде Si - суммарная наработка а di - число отказов, зафиксированные в ходе испытаний по элементам i-ro типа. Результаты испытаний по параметру р, заданы в аналогичном виде: Vi - сумма всех интервалов восстановления и ki - число восстановлений по элементам i-ro типа (чаще всего dt = ki). Результаты испытаний по различным элементам предполагаются независимыми. Пусть R = R (ki, Xjn, Pi, Pm) -функция, выражающая зависимость показателя надежности системы от параметров элементов. Процедура построения доверительных границ методом фидуциальных вероятностей остается такой же, как в § 22,5, 22.6, с тем отличием, что моделируются не только случайные параметры Xi, Но и случайные параметры р,. (Формирование параметров р при данных Vj, ki производится аналогично. Обозначим: Zj = in ,j; «/j = In p,; z = = (zi.....zJ; у = (Ух, .... Ут); R {z, у) == P (eS e™, еУ\ e"™). Нижняя (верхняя) у-доверительная граница для показателя R может строиться методом фидуциальных вероятностей, если функция R (г, у) выпукла вверх (вниз) по (Z, у)- Рассмотрим некоторые распространенные модели систем с восстановлением, составленных из однотипных элементов. 22.7.1. Система с нагруженным резервированием и неограниченным восстановлением. Система состоит из п + 1 однотипного резервного элемента (резерв нагруженный). Интенсивность отказов каждого элемента X. В момент отказа эле- мент сразу начинает восстанавливаться, независимо от наличия других отказавших элементов. Интенсивность восстановления для каждого элемента ц. Система отказывает в случае отказа всех элементов. Коэффициент готовности для каждого отдельного элемента К = [i/ (К + [i). Коэффициент готовности системы в целом :=l-(1-)"+ = l-f-(22.62) Оценка К сводится к оценке величины р = Х/ц. Записанная в переменных (z, у) функция In р = Z - у линейна. Нижняя и верхняя доверительные границы для р, а тем самым и для коэффициента готовности (22.62) могут строиться методом фидуциальных вероятностей. При этом они будут совпадать с границами, построенными на основе -распределения для отношения (kS)/ (цУ) (см. § 22.2). Средняя наработка системы определяется выражением Функция (22.63), записанная в переменных (z, у), выпукла вниз. Поэтому верхняя у-доверительная граница для Т может строиться методом фидуциальных вероятностей. Аналогичные утверждение для нижней границы неверно. Чтобы построить нижнюю границу, воспользуемся приближенной формулой (22.64) которая дает хорошее приближение при Я, < р,. Кроме того, выражение (22.64) является нижней оценкой для Т. Записанная в переменных (z, у) функция In ((х"/Я," + ) = пу - (п + l)z линейна. Поэтому нижняя у-доверительная граница для приближенного выражения (22.64) может строиться методом фидуциальных вероятностей. В случае высоконадежных элементов эта нижняя граница для Т довольно эффективна. Для коэффициента оперативной готовности справедливы приближенные (для случая высокой надежности) выражения: Последнее выражение, записанное в переменных (z, у), является выпуклой вверх функцией. Поэтому нижняя у-доверительная граница для него также может строиться методом фидуциальных вероятностей. 22.7.2. Общая схема с резервированием и восстановлением. Система состоит изЛ = Л+ ВЧ-С однотипных элементов, каждый из которых имеет параметр интенсивности отказов к. Из них А основных элементов находятся в рабочем состоянии, В - в нагруженном и С - в ненагруженном резерве. Отказавший элемент восстанавливается на одном из D обслуживающих ремонтных органов. Интенсивность восстановления элемента (х. Каждый ремонтный орган одновременно может восстанавливать не более одного элемента. Если все ремонтные органы заняты, то отказавший элемент становится в очередь. Система находится в исправном состоянии, если число исправных элементов не меньше А. Пусть k = k (t) - число отказавших элементов в момент времени t. Изменение величины k во времени описывается стандартной схемой марковского однородного процесса с непрерывным временем и конечным множеством состояний. Интенсивность перехода из состояния кв k -\- \ пропорциональна параметру к и равна + к. Интенсивность перехода из состояния квк -1 пропорциональна параметру у, и равна • \i. Коэффициенты а, определяются конкретным режимом восстановления и замещения элементов. Например, в схеме предьщущего пункта aft = п Ч- 1 - , Ря = . Отказ системы наступает при k (t) > n + 1, где n = Б + С. Обозначим также: Со = 1; Коэффициент готовности системы в данной схеме выписывается явно: К=С,р1 СрК (22.66) k=0 I k=0 где р = Я,/р. Функция (22.66) монотонно убывает по р. Оценка К сводится к оценке р. Как нижняя, так и верхняя доверительные границы для р могут вычисляться методом фидуциальных вероятностей (при этом они совпадают с границами, построенными на основе -распределения). Затем нижняя (верхняя) у-доверительная граница для К вычисляется подстановкой верхней (нижней) у-доверительной границы для р в формулу (22.66). Средняя наработка системы определяется формулой VC,(i)"- . (22.67) Функция (22.67), записанная через параметры (z, у), выпукла вниз. Поэтому верхняя у-доверительная граница для Тс может строиться методом фидуциальных вероятностей. Чтобы построить нижнюю границу, воспользуемся приближенной (при Я, < р) формулой (22.68) которая дает также нижнюю оценку для Тс- Нижняя у-доверительная граница для приближенного выражения (22.68) может строиться методом фидуциальных вероятностей. Для коэффициента оперативной готовности системы справедливы приближенные (для случая высокой надежности) выражения (22.69) Для (22.69) нижняя у-доверительная граница также может строиться методом фидуциальных вероятностей. В случае высоконадежных элементов получаемая таким образом нижняя граница для R (to) является довольно эффективной. 22.7.3. Система с восстанавливаемыми разнотипными элементами. Следующая схема обобщает рассмотренную в предыдущем пункте. Система состоит из т последовательно соединенных резервных групп (подсистем). Каждая отдельная подсистема состоит из однотипных элементов и представляет собой некоторую резервную группу типа, который был рассмотрен в п. 22.7.2. Параметры интенсивности отказов и восстановления элементов i-й подсистемы обозначим соответственно Xi и Рг. Коэффициенты Л, В, С, D, N, п, а, р, С, а также показатели надежности К, Т, R (Q для /-й подсистемы будем отмечать индексом i. Предполагается, что отказы и восстановление элементов в различных подсистемах происходят независимо друг от друга. Система отказывает при отказе любой подсистемы. Коэффициент готовности системы находится как произведение: K=hKi(], (22.70) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 [129] 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |