|
| |
|
Слаботочка Книги где Ki - коэффициент готовности /-й подсистемы, определяемый по формуле (22.66). Для случая высокой надежности (Ki < 1) (22.70) можно записать приближенно: где коэффициенты щ = Cnj + i, c/Cq Функция (22.71), записанная через параметры (z, у), выпукла вверх. Поэтому нижняя у-доверительная граница для приближенного выражения (22.71) может строиться методом фидуциальных вероятностей. В некоторых частных случаях нетрудно показать, что метод фидуциальных вероятностей может применяться и непосредственно к точному выражению (22.70). Пусть, например, каждая подсистема является резервной группой типа, рассмотренного в (22.62) (с нагруженным резервированием и независимым восстановлением). Тогда коэффициент готовности системы Можно показать далее, что функция In К, записанная в переменных (г, у), выпукла вверх. Тем самым нижняя у-Доверительная граница может строиться методом фидуциальных вероятностей непосредственно для показателя (22.72) без использования приближенной формулы (22.71). Средняя наработка системы находится по формуле (22.73) где Ti - средняя наработка i-и подсистемы. Оценка Т снизу сводится к оценке сверху величины где коэффициенты а;-=С„. .а„. ./Со, j. Функция (22.74) в переменных (z, ) выпукла вниз. Верхняя у-доверительная граница для нее может строиться методом фидуциальных вероятностей. Коэффициент оперативной готовности системы R(to) Ке-/\-У ail-]"--tof a--(YKi. (22.75) Функция (22.75) в переменных (z, у) выпукла вверх, и нижняя у-доверительная граница для нее также может строиться методом фидуциальных вероятностей. Таким образом, для высоконадежных восстанавливаемых систем нижние доверительные границы для основных показателей надежности К, Т, R (to) могут вычисляться методом фидуциальных вероятностей. Необходимо отметить, что основные существующие в настоящее время способы построения доверительных границ для надежности систем относятся главным образом к системам без восстановления. На рассмотренную выше схему систем с восстановлением распространяется метод подстановки (см. § 22.4), но при том дополнительном ограничении, что параметры восстановления nt известны. Прдход, основанный на использовании нормального приближения, может приме- няться при больших объемах выборки. В типичной для испытаний высоконадежных систем ситуации малых выборок метод фидуциальных вероятностей в настоящее время по существу является единственным пригодным для оценки показателей надежности сложных систем с восстановлением. Г л а в а 23 СТАТИСТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ ПО ДВУМ УРОВНЯМ 23.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ При статистическом контроле показателей надежности часто возникает еле" дующая задача. Пусть R - показатель надежности некоторой системы я Rq< < Ri - два заданных уровня (приемки и браковки). Система считается пригодной по показателю Р, если истинное значение R < Ro- Система считается непригодной, если R > Ri. Истинное значение R неизвестно и требуется принять решение о приемке {R < Ro) или браковке {R > R) системы по результатам испытаний. Подобные задачи решаются в рамках общей теории проверки статистических гипотез. Задача заключается в принятии по результатам испытаний одной из двух гипотез Н„ : R Ro или Я: R > R. Область значений показателя R, таких, что Ро < < Ri, иногда называют областью «безразличия». Заметим, что оптимальный выбор уровней Ro, Ri, на основе которых принимается решение о пригодности системы, является непростой и чаще всего трудноформализуемой задачей. В большинстве случаев эти уровни выбираются исходя из некоторых практических соображений. Существенной особенностью для сложных систем является то, что показатель надежности системы, как правило, зависит от многих неизвестных параметров (параметров надежности различных элементов). Кроме того, статистическая информация, на основе которой принимается решение о системе, чаще всего содержит информацию по испытаниям различных ее элементов. Здесь возможны две основные ситуации. 1. Испытания системы. Испытания проводятся непосредственно на одном или нескольких образцах системы как единого целого. На испытаниях фиксируются отказы системы в целом, а также отказы ее отдельных элементов. В этом случае объемы испытаний по различным типам элементов системы в определенном смысле «согласованы» (пропорциональны числу элементов данного типа в системе). Решение о качестве системы может приниматься исходя из полной информации с учетом результатов испытаний по элементам системы. Другой способ заключается в принятии решений непосредственно по результатам испытаний системы (см., например, § 23.3) без учета информации по элементам. Из общих качественных соображений представляется естественным, что первый способ должен давать значительный выигрыш, например, для высоконадежных систем с однотипными резервными элементами (см. § 23.3, 23.6), так как число наблюдаемых отказов системы при этом значительно меньше числа отказов элементов. 2. Поэлементные испытания. По тем или иным причинам система на данный момент времени не может быть испытана как единое целое, но имеется информация по испытаниям ее отдельных элементов (полученная, например, на испытаниях других систем с аналогичными элементами, на автономных испытаниях отдельных частей системы и т. п.). Возможна и промежуточная ситуация, когда имеются как результаты испытаний системы в целом, так и результаты дополнительных испытаний некоторых ее частей. Решение задачи в этом случае производится на основе имеющейся информации по испытаниям отдельных элементов системы. Общей формулировкой задачи является следующая. Пусть G - вектор параметров надежности элементов системы, х - вектор результатов испытаний, Pq{x} - вероятностное распределение х при истинном значении вектора параметров G. Пусть R = R (в) - функция, выражающая зависимость показателя надежности системы R от показателей надежности элементов. Требуется по результатам испытаний X принять одну из двух гипотез: Яр: R; Н: R R. Другими словами, требуется принять решение о принадлежности неизвестного истинного значения G одному из двух множеств: Яо = {G : (G) < Ro}; = {G: R (G) > R}. Пусть X = {х} - множество всех возможных исходов испытаний. Правило принятия решений (критерий) задается разбиением множества X на две непересекающиеся области W hW. Если результат испытаний принадлежит W, то принимается гипотеза Н. Если результат испытаний принадлежит области W, то принимается гипотеза Н- Таким образом, построение решающего правила сводится к построению области W (называемой «критической» областью). Существенной характеристикой решающего правила является оперативная характеристика L (G) = Pq[x W} -- вероятность принятия гипотезы при истинном значении вектора параметров G (часто используется также функция мощности ш (G) = 1 - L (G)). При истинном значении G Яо вероятность ошибочного решения о принятии гипотезы Я (вероятность ошибки первого рода) равна 1 - L (G). При истинном значении G 6 Яг вероятность ошибочного решения о принятии гипотезы Яо (вероятность ошибки второго рода) равна L (G). Величины а= max (1-L(G)); p=maxL(G) (23.1) qh„ вея, называются гарантированными рисками или просто рисками первого и второго рода. Решающее правило (критерий) называется равномерно наиболее мощным, если при фиксированном риске первого рода а его вероятность ошибки второго рода L (G) минимальна (функция мощности w (G) максимальна) при всех G Яд. В случае многомерного G равномерно наиболее мощные критерии удается построить лишь в некоторых частных ситуациях. Соотношения (23.1) могут быть записаны также в следующем виде: 1 - L (G) < а при G е Яо; L (G) < р при G 6 Н. (23.2) Величины а, р характеризуют максимально возможные вероятности ошибок соответственно первого и второго рода. При статическом контроле промышленной продукции а, р характеризуют соответственно риск изготовителя и потребителя. Задача заключается в выборе объема испытаний и построении решающего правила, обеспечивающего заданные значения рисков а, р при заданных уровнях приемки и браковки Ro, R. 23.2. СИСТЕМА С РЕЗЕРВИРОВАНИЕМ БЕЗ ВОССТАНОВЛЕНИЯ Система составлена из п однотипных параллельно соединенных резервных элементов (резерв нагруженный). Отказ системы наступает в случае отказа всех ее элементов. В предположении, что отказы различных элементов происходят независимо друг от друга, вероятность отказа системы в течение времени t равна R = q\ (23.3) где q - вероятность отказа за время t одного элемента. Испытания элементов проводятся по плану [NVt], в результате чего фиксируется d отказов (биномиальная схема испытаний). Частным случаем являются испытания системы в целом, когда испытываются Лс идентичных образцов дан- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 [130] 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |