|
| |
|
Слаботочка Книги ной системы. Общий объем испытаний элементов = NсП. Требуется по результату испытаний d принять одну из двух гипотез: Яо: R < Ro, Я: R > R, где Ro< R-i - заданные уровни приемки и браковки системы по показателю R. Проверка указанных гипотез эквивалентна проверке гипотез о параметре q надежности одного элемента Яц: q< qo, Н: q > q, где уровни qo = РУ"; q = = R{l. Это стандартная задача проверки гипотез о параметре биномиального закона в схеме испытаний Бернулли. Решающее правило (равномерно наиболее мощное) сформулируем следующим образом. Если наблюдаемое число отказов d<,C, то принимается гипотеза Но (приемка). Если d > С, то принимается гипотеза Нх (браковка). Объем испытаний и константа С выбираются так, чтобы обеспечить заданные риски а, р. Обозначим через F (q, d) = Cn q (1 - 9)~* функцию распределения случайной величины d при истинном значении параметра, равном q. Оперативная характеристика имеет вид L (q) = F (q. С). Неравенства (23.2) записываются как: 1 - F (9, С) < а при 9 < qo; F (q. С) при q > q. (23.4) Функция F {q. С) монотонно убывает по q. Поэтому (23.4) эквивалентно 1 - F {qo. С) < а; F {q. С) < р. (23.5) Объем испытаний и константа С далее выбираются так, чтобы выполнялись неравенства (23.5). При небольших N для этого используются стандартные таблицы биномиального распределения. При достаточно больших (начиная с 20) удобно использовать нормальное приближение. Среднее значение и дисперсия случайной величины d равны соответственно Л п Nq {\ - q). Функция распределения d аппроксимируется выражением F{q,d)ф{-=\, (23.6) \-\/Nq(\-q)j где Ф (•) - функция распределения стандартного нормального закона с нулевым средним и единичной дисперсией. При использовании нормального приближения минимально необходимый объем испытаний Л* (обеспечивающий заданные риски а, р при заданных уровнях qo, qi) может быть записан в явном виде. Обозначим через t/„ квантиль уровня 1 - а нормального закона Ф ({/„) =1 - а. Неравенства (23.5) с учетом нормального приближения (23.6) записываются в виде: Nqo + Uo,Vlqo{i-Qo)<C; (23.7) Nqx-UfsVNqA -Qi}>C. Заданные значения рисков а, р могут быть обеспечены при данном объеме испытаний N, если оба неравенства (23.7) выполняются при некотором С. Для этого должно выполняться неравенство Nq, + UVNqo{l-qo)<Nq,~UpVNqAi-qi)- (23.8) Тогда в качестве константы С, задающей решающее правило, можно взять любую величину из интервала Nqo + Va VNqo (1 - С < Nq-Vf, Vqi (1 -i). (23.9) Если неравенство (23.8) строгое, то точные значения рисков меньше а, р. Минимально необходимый (при данных а, Р) объем испытаний Л* определяется из равенства Л* 9о + 9о (1 -%) = Л* 9. -Р VN* Ях (1 -9i), - (23.10) откуда V<?o (I -<?о) + f/p У<?1 (1 -qx)f (23.11) При этом константа С (и, следовательно, решающее правило) определяется однозначно, а именно совпадает с левой и правой частями равенства (23.10). 23.3. ВЫИГРЫШ ОТ УЧЕТА ИНФОРМАЦИИ ПО ЭЛЕМЕНТАМ СИСТЕМЫ По схеме § 23.2 рассмотрим случай, когда в течение времени t испытываются Nc идентичных образцов системы либо один образец испытывается раз и в начале каждого цикла испьпганий восстанавливаются элементы, отказавшие на предыдущем цикле. Правило принятия решений может строиться двумя способами: 1) на каждом цикле испытаний системы фиксируются не только отказы системы в целом, но и отказы отдельных элементов. Решение принимается на основе суммарного числа отказов d по всем элементам. Этот способ был описан в § 23.2; 2) на каждом цикле испытаний фиксируются лишь отказы системы в целом. Решение принимается на основе суммарного числа «системных» отказов. Данный способ сводится к проверке исходных гипотез R < R, R > Ri о биномиальном параметре R в схеме испытаний Бернулли, но с объемом испытаний, равным Nc-В соответствии с (23.9) необходимое число испытаний системы определяется выражением При первом способе (с учетом информации по элементам) необходимое число «системных» испытаний равно N*/n. Коэффициент k = N1/ {N*n-) показывает, во сколько раз большего объема испытаний требует второй способ. Обозначим Ь = (Ri - RoVRq- При достаточно малых б из (23.9), (23.12) с учетом связи между уровнями R = <?", Ri = q" получаем приближенное [при {R, Rj) <с1 и с точностью до о (б)] выражение +°+°+--+°"" fi-"- бУ (23.13) где а = q~ = (\lRoYf". Коэффициент (23.13) характеризует выигрыш в объеме испьпганий от учета информации по элементам системы. Выигрыш тем больше, чем выше требования к надежности системы (чем меньше уровни R, Ri) и чем больше степень резервирования системы п- Для первого сомножителя в (23.13) справедливы оценки откуда видно, что при фиксированном R максимально возможный выигрыш (при возрастании степени резервирования п и при R Rq) определяется коэффициентом (1 - RoV (/?о In Ro")- • 23.4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО-ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ СИСТЕМА БЕЗ ВОССТАНОВЛЕНИЯ Система состоит из т последовательно соединенных резервных групп (резерв нагруженный), i-я резервная группа состоит из rit однотипных элементов. Для каждого элемента внутри i-й резервной группы распределение безотказной работы экспоненциальное: Ft (i) = 1 - е~ - с неизвестным параметром %i. Предполагается, что отказы различных элементов происходят независимо друг от друга. Вероятность отказа системы в течение заданного времени р=1 П (1--0. (23.14) где Qi = \ - е »° - вероятность отказа за время tf, одного элемента i-й резервной группы. В случае высокой надежности (Xjo < 1) справедлива приближенная формула R-Qb (23.15) где Qj = ql « (?-jo)"* - вероятность отказа i-й резервной группы. При ненагруженном резерве вероятность Qj отказа i-й резервной группы может вычисляться по формуле Qi ~ {KtoPlni\ Предположим, что испытания элементов i-ro типа производятся по плану [NiRTi\, в результате чего наблюдается di отказов. Случайная величина di имеет пуассоновское распределение с параметром Aj = >.jSj, где Sj = NiTi -суммарная наработка элементов i-ro типа иа испытаниях. Оценка показателя надежности системы (23.15) сводится к оценке степенной функции от неизвестных пуассоновских параметров Л = (Л, Ag, A): Р = Р(Л)= V GjAS (23.16) где коэффициенты Cj вычисляются по формулам; Cj = (tjSi)\ flj = (tJSi)"ilni\ соответственно для нагруженного и ненагруженного резервов в i-й группе. К аналогичной схеме сводится и биномиальная схема испытаний, когда элементы i-ro типа испытываются по плану ШШ], в результате чего наблюдается di отказов. Если число испытываемых элементов Ni достаточно велико, то распределение числа отказов d{ - приближенно пуассоновское с параметром Aj = Niqi. Задача также сводится к оценке показателя вида (23.16), где Cj = Л,- Требуется исходя из вектора результатов испытаний по всем элементам d = = (di, dm) принять одну из двух гипотез о показателе надежности системы: Hf,: R < R(,, fi- R > Ri, где Ro<Z Ri - заданные уровни приемки и браковки. Несмещенная оценка показателя (23.16) в данном случае имеет вид i?=2«j<S (23.17) 1 = 1 где используется сокращенное обозначение d<) = d {d - I) (d - 2) ... {d - n+ + I). Решающее правило будем строить на основе несмещенной оценки (23.17). Если вычисленное по результатам испытаний значение несмещенной оценки С, то принимается гипотеза (приемка). Если R> С, то принимается гипотеза Н (браковка). Объем испытаний и константа С выбираются так, чтобы обеспечить заданные значения рисков а, р. Обозначим через Р (Л, г/) = Рд (/?< у) функцию распределения оценки R при истинном значении векторного параметра, равном Л. Оперативная характеристика имеет вид L (А) = F (Л, С). Основные неравенства (23.12) записываются как: 1 - F (Л, С) < а при R (Л) < R; F (Л, Q < р при R (Л) > R. (23.18) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [131] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |