|
| |
|
Слаботочка Книги Введем функции: F- (R, С) = min F (Л, С); F+ (R, С) = max F (Л, С), (23.19) где минимум и максимум берутся по всем возможным сочетаниям параметров Л, отвечающим фиксированному значению показателя R, т. е. по множеству Л, таких, что R (Л) = R. Функции (23.19) монотонно убывают по R. Поэтому (23.18) эквивалентно" 1 - F- (Ro, С, а; F (R, С) < р. (23.20) Построение решающего правила сводится к нахождению объема испытаний и константы С, при которых выполняются неравенства (23.20). Для этого, в свою очередь, нужно найти экстремумы в (23.19). Точное решение этой задачи является довольно сложным. Поэтому воспользуемся нормальной аппроксимацией для рас- пределения оценки R исходя из того, что случайная величина R образуется как сумма т независимых случайных величин с конечными моментами. Точная функция распределения аппроксимируется выражением Р{А,у)Ф{--Л, (23.21) где М (Л), D (Л) - среднее значение и дисперсия оценки R при данном Л; Ф (•) - функция распределения стандартного нормального закона. Нормальное приближение (23.21) выполняется тем лучше, чем больше объемы испытаний по различным элементам и чем больше число т резервных групп в системе. В силу несмещенности оценки ее среднее значение совпадает с показателем М (Л) = (Л) при всех Л. Дисперсия оценки вычисляется более сложным образом. Можно показать, что В(Л)= Ог(Лг), (23.22) где Dj(Aj)-дисперсия случайной величины определяемая по формуле k = 0 На множестве параметров, по которому берутся экстремумы в (23.19), функция М (Л) постоянна в силу несмещенности оценки. Поэтому отыскание экстремумов (23.19) сводится к нахождению величины D+ (R) = max D (Л), (23.24) где максимум берется по тому же множеству параметров Л, таких, что R (А) = = R. Эта величина имеет смысл максимально возможной дисперсии при фиксированном среднем значении оценки, равном R. Введем переменные yt = Л". В переменных у = (Ух, Ут) вычисление максимума (23.24) сводится к следующей задаче: найти 1 = 1 при линейных ограничениях max а!Diiyy"i) (23.25) Va.y. = i?, yjO, i = l,...,m. (23.26) » = i Целевая функция в (23.25) выпукла вниз по у. В соответствии с известными результатами теории выпуклого программирования максимум (23.25) достигается в одной из т «крайних» точек области (23.26) вида (О, О, аГ R, О, 0), все координаты которых, кроме одной, нулевые. Отсюда D+ (/?) = тах а! [[~f"} (23-27) Рассмотрим пример нагруженного резерва. Величину Vt = Stltg назовем объемом испытаний элементов i-ro типа. В биномиальной схеме испытаний положим Vi = Ni. Максимальная дисперсия (23.27) записывается как п, -1 D+(/?) = Pmax 2 ko\ I V ,n=-k (23.28) Эта величина монотонно убывает по объемам испытаний Vi. Для равных резервов по различным типам элементов % = «2 = ••• = = п формула (23.28) упрощается: D+ (R) = Ry - -И- , (23.29) где Vm - min Vi - минимальный объем испытаний по элементам системы. 1 Неравенства (23.20) в нормальном приближении эквивалентны следующим выражениям: /?o + "aV"D+(pJ<C; Rx-uV4fi5>C. (23.30) В данном случае объем испытаний задается вектором V = (Ki, V) объемов испытаний по различным компонентам системы. Риски а, (5 могут быть обеспечены при данном V, если неравенства (23.30) выполняются для некоторого С, другими словами, если при данном V выполняется неравенство Ro+uV4<R,~uV5. (23.31) Тогда в качестве константы С, определяющей решающее правило, можно взять любую величину из интервала Ro + uVD+ т <С< ар КD+ (Pi)- (23.32) Если неравенство (23.21) строгое, то точные значения рисков меньше а, р. Минимально необходимые (при данных а, Р) компоненты вектора объема испытаний V определяются из равенства Ро + ы„ KD+ (Ро) = Pi - ыр KD+ (Pi).. (23.33) При этом константа С (и, следовательно, решающее правило) определяется однозначно. В силу многомерности V равенство (23.33) определяет не один вектор, а некоторое множество «минимальных» векторов V*. Рассмотрим пример непосредственно испытаний системы. Предположим, на испытания в течение времени Т ставится Лс идентичных образцов данной системы, отказавшие элементы в момент отказа восстанавливаются (заменяются новыми). В этом случае объемы испытаний по различным элементам пропроциональны объемам резервных групп: Vi = n,-Fc, i = 1, /п, где Fc = NсТ - объем испытаний системы. В биномиальной схеме аналогичная ситуация имеет место, если в течение времени о используются N образцов системы. Здесь также Vi = tiiVc, i = 1, т, где Vi = Ni; Vc = N с- Минимально необходимый объем испытаний системы VI определяется (однозначно) из равенства (23.33), где D+ (Р) находится по формуле (23.28), в которой вместо Vi подставляется riiVc- 23.5. КОНТРОЛЬ КОЭФФИЦИЕНТА ГОТОВНОСТИ СИСТЕМЫ С РЕЗЕРВНЫМИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ Пусть система составлена из п однотипных резервных элементов (резерв нагруженный). Наработку одного элемента обозначим Т. Отказавший элемент сразу же (независимо от состояния остальных элементов) начинает восстанавливаться. Среднее время восстановления (ремонта или замены) одного элемента обозначим Т. Процесс функционирования одного элемента представляет собой последовательность независимых между собой периодов безотказной работы и восстановления li, Tji; I2, Ла; In. •••. где §1, I2. In, и lli, "Цп, имеют одинаковые распределения со средними = Г и ЖЦп = f соответственно. Процессы отказов и восстановления различных элементов независимы. Коэффициент готовности одного элемента К = Т (Т + t)-i, коэффициент готовности системы К=1-(1 = 1 -(-7)"- (23.34) Истинные значения величин т, Т, К неизвестны, и требуется по результатам испьпганий принять одну из двух гипотез о показателе надежности системы: Я: К>Ко\ Нх. К Kl, где Ko>Ki - заданные уровни приемки и браковки. Коэффициент готовности однозначно определяется отношением средних р = т/Т: = 1 - [р/ (1 + р)]". (23.35) Выражение (23.35) монотонно убывает по q. Поэтому проверка гипотез о коэффициенте готовности эквивалентна проверке гипотез о показателе р: Яо: р < Ро; Hi. р >Pi, (23.36) где уровни Ро, Pi пересчитываются по уровням Ко, Ki на основе зависимости (23.35). Предположим, что в результате испытаний наблюдалось N значений наработки элемента li, I2. Iv и / значений времени восстановления элемента •111Пг> ,41, где все перечисленные результаты наблюдений независимы между собой. Предполагается также, что распределения наработки и времени восстановления элемента являются «стареющими». Требуется по результатам испытаний (I. П) = (li. 1лг, 111, Лг) принять одну из двух гипотез Яо, Я1 с заданными рисками а, р. Решающее правило будем строить на основе отношения р=/7\ (23.37) где т = (т)! + ... + r]i)/t; Г = (li + ... + In)/N - оценки параметров т, Т по результатам испытаний. Если вычисленная по результатам испытаний величина р < С, то принимается гипотеза Яо (приемка); если р>С, принимается Я1 (браковка). Объем наблюдений {N, I) и константа С > О выбираются так, чтобы обеспечить заданные риски а, р (при заданных уровнях приемки и браковки Ро, Pi). Неравенство р < С эквивалентно т - СГ < О. Оперативная характеристи- ка совпадает с вероятностью Р (т - СГ < 0). Неравенства (23.2) в данном случае принимают вид: 1 -/(т -С? <0) <а при р <Ро; Р (V- СГ < 0) < р при р > Pi. У ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 [132] 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |