|
| |
|
Слаботочка Книги Случайная величина т - СТ образуется как сумма {N -\- t) независимых случайных величин. При достаточно больших объемах выборки (Л, /) ее распределение можно считать приближенно нормальным со средним значением и дисперсией: т - СГ; aVl + ColN, где о%, of - дисперсии соответственно времени восстановления т и наработки Т элемента. В нормальном приближении неравенства (23.38) могут быть записаны следующим образом (при а < 1/2; р < 1/2): {х-СТ) + (т-СГ)-Ыр или после простых преобразований: С2 т 0 при р<ро; >0 при p>Pi.
0 при р<ро; 0 при pPi. (23.39) (23.40) Максимально возможное значение коэффициента вариации (отношения средне-квадратического отклонения к среднему значению) «стареющего» распределения равно 1 (достигается при экспоненциальном распределении). Поэтому неравенства (23.40) принимают вид (при / > ы): Ро-С--ы„ Pi-С-iipi/"-Lpf (23.41) После некоторых преобразований (23.41) записываются как: (23.42) 1 -Щ >с. Значения рисков а, р могут быть обеспечены при данных объемах испытаний (Л, [), если оба неравенства (23.42) выполняются при некотором С (при этом всегда Ро < С < Pi). Для этого должно выполняться неравенство -(+"Ут+т-1) (23.43) Минимально необходимые объемы испытании N, I должны удовлетворять равенству = Pi \/ N I N1 j\ N j (23.44) Если объемы N, I удовлетворяют (23.44), то константа С, определяющая решающее правило с рисками а, р, совпадает с обеими частями равенства (23.44). Наиболее распространенной является ситуация, когда на испытаниях число наблюдаемых отказов равно числу наблюдаемых периодов восстановления. При этом объемы испытаний по наработке и по времени восстановления совпадают: N = /. Равенство (23.44) в этом случае несколько упрощается: "а Решение уравнения (23.45) относительно N дает минимально необходимый (при данных Ро, Pi, а, Р) объем испытаний N*. При (р - Ро)->-0 справедлива приближенная формула ЛГ* « 2pl (ы„ + щУ1 (pi - ро) (23.46) При равных рисках а = р уравнение (23.45) упрощается. В этом случае из (23.45) находим \ V \Pi + Po/ / 2a(Pi + Po) (23.47) Ha основе приведенной выше процедуры проверки гипотез можно получить доверительные границы для показателей р и /с. Верхняя (1 - Р)-доверительная граница для р Р1-Р = Р Нижняя (1 а)-доверительная граница для р Pi-a = P (23.48) (23.49) Интервал (pi-a, Pi-p) Дает доверительный интервал для р с коэффициентом доверия Y = 1 - а - р. При (N, /) оо справедливы приближенные выражения: Pl-pi=»P Нижняя и верхняя доверительные границы для коэффициента готовности К вы-, числяются подстановкой соответственно верхней и нижней границ для р в формулу (23.35): К.-р = 1- Pl-P \ . р \" 23.6. ВЫИГРЫШ ОТ УЧЕТА ИНФОРМАЦИИ ПО ЭЛЕМЕНТАМ СИСТЕМЫ По схеме § 23.5 рассмотрим случай испытаний системы в целом. При этом одновременно наблюдается п независимых потоков отказов и восстановлений по каждому элементу системы. Каждый отдельный поток представляет собой последовательность независимых интервалов работы и восстановления элемента. Система находится в состоянии отказа, когда отказали (восстанавливаются) все п элементов. Решение о коэффициенте готовности системы К может приниматься непосредственно по наблюдениям за потоком отказов и восстановлений системы. В предыдущем параграфе предполагалось, что наблюдаемые интервалы работы и восстановления - независимые «стареющие» случайные величины. Заметим, что в результирующем «шстемном» потоке интервалы работы и восстановления системы могут быть зависимы. Рассмотрим частный случай, когда время восстановления каждого элемента имеет экспоненциальное распределение. Тогда интервалы работы и восстановления системы независимы. Время восстановления системы имеет экспоненциальное и, следовательно, «стареющее») распределение со средним Тр = т/п. Кроме того, в случае высокой надежности когда число отказов элементов на одном интервале безотказной работы системы достаточно велико, можно приближенно считать, что наработка системы имеет также экспоненциальное распределение. В указанных допущениях можно использовать результаты пре-дьщупего параграфа для принятия решения непосредственно по наблюдениям за интервалами работы и восстановления системы. Циклом работы системы назовем интервал безотказной работы и следующий за ним интервал восстановления системы. Предположим, наблюдается Лс циклов работы системы. Результатом наблюдений являются Nc интервалов безотказной работы и Nc интервалов восстановления системы. Обозначим Тс среднюю наработку системы, Те - среднее время восстановления системы R = ijTc- Задача сводится к принятию по указанным результатам наблюдений одной из двух гипотез: Яо. R < Ro\ Н. Ri > Ri, где уровни R„, R связаны с исходными уровнями (приемки и браковки) Ко > Ki коэффициента готовности системы соотношениями: 0 = (1 + Ro)-\ 1 = (1 + Ri)-- (23.50) Пусть а = р. Необходимое число наблюдений циклов работы системы Nc определяется формулой (23.47): Nl = Va\-V\ -((R-R,)/(R, + R,)f Г\ (23.51) Средняя продолжительность испытаний системы при этом = N1 {Тс + Тс). Рассмотрим другой способ принятия решений, основанный на получаемой в результате испытаний системы информации по отдельным элементам. Испытания системы будем проводить до наблюдения Л интервалов безотказной работы и Л интервалов восстановления элементов. (Заметим, что при таком плане испытаний результаты предыдущего параграфа, основанные на предположении о независимости наблюдаемых интервалов, могут применяться приближенно.) Необходимое число наблюдений, определяемое по формуле (23.47), Af* = m[l-l/ l (eiIz£?V] (23.52) где уровни Ро, Pi связаны с Ко, Ki соотношениями: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 [133] 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |