|
| |
|
Слаботочка Книги Решение. Формула для оценки R имеет вид /С = р/(? + р), где к - оценка параметра потока отказов; р - оценка интенсивности восстановлений. По формуле (23.62) вычислим дисперсию D/C- При выбранном плане испытаний [IRd] выражение для D/C независимо от К и ц можно представить так: D? = 2/С* (1 - Kf/d. (23.63) Тогда система уравнений (23.60), (23.61) примет вид: Ki + Ui-K\ (1 -КдV2/d = С; Ko + UaKia-Ко) V2/d = С. Подставляем численные значения: 0,96 + 1,28 • 0,96 • (1 - 0,96) • V2/d = С; 0,98 - 1,28 • 0,98 X X (1 - 0,98) • УШ = С. Решая эту систему, получаем ответ: С = 0,973; d - 26. Вместо нормального приближения и формулы (23.63) в данном случае можно использовать точное распределение К (см. § 23.8). При этом получается следующий ответ: С = 0,972; d = 25. Пример 23.2. Испытывается один образец восстанавливаемого изделия, состоящего из двух одинаковых устройств, одно из которых используется как нагруженный резерв с полным контролем и идеальным переключением. Распределения времени работы между отказами и времени восстановления-экспоненциальные. Заданы два уровня наработки на отказ: То = 1300 ч; Т = 650 ч; а = = Р = 0,1. Испытания проводятся до окончания запланированного времени t„. Требуется определить С и t„. Решение. Оценка Т вычисляется по формуле Т = (р + ЗЩ2Га). (23.64) Определяем DT. Поскольку для изделия будет реализован план [1Р„], для оценки X и р будут реализованы планы [27?„] и [2Rd] соответственно. При данных планах DK = X/2t„ и l5p, = pV (d - 2). Тогда по формуле (23.62). DT = (ЗК + 21хУ8К% + 1хЧ4К {d - 2). Теперь необходимо найти значения К и \х, максимизирующие дисперсию. При каждом фиксированном значении Т оценки и р связаны соотношением (23.64) и уменьшаются или увеличиваются одновременно. Если с помощью (23.64) выразить, например, р через К и Т, то можно записать (с учетом р) DT 2ТШ„ + 2TV (d - 2). Отсюда видно, что max DT достигается при минимальных X и р. я, ц Поскольку число отказов d при планировании неизвестно, примем приближенно р/ {d~2) р/2Х4, и тогда DT- (3>+2it)+ Очевидно, что и р ограничены определенными пределами и нам достаточно ус-,тановить один из них. Например, пусть из технических соображений или по ана-логии с другими изделиями известно, что среднее время восстановления устрой- ства не может превышать 2 ч, т. е. р, > 0,5 ч-. Тогда, подобрав по формуле (23.64) соответствующие уровням То = 1300 ч и = 650 ч значения Х(1,44 • 10- Ч-1 и 2,08 • 10-2 Ч-1), можем записать систему уравнений: i3oo i,28.i/IZ:i==c; 650+1,28.1/мис. Решением системы являются значения С = 840 ч и Пц = 2070 ч. Время испытаний здесь заведомо завышено, так как приняты минимально возможные X и II. Однако это окупается возможностью применения расчетно-экс-периментального метода, что дает существенно большую экономию. Действительно, для испытаний такого изделия с той же точностью и достоверностью потребовалось бы 9,47 То = 12 300 ч. Важно отметить, что выигрыш сохраняется даже в том предельном случае, когда из-за отсутствия информации о X и р, в качестве нижней границы для \х принимается тривиальная оценка [.i = 0. Уравнения (23.60), (23.61) при этом дают результат С = 820 ч, 4 = 5200 ч. Правда, возможно существенное возрастание погрешности нормального приближения. Пример 23.3. Испытывается один образец невосстанавливаемого изделия, состоящего из двух устройств, каждое из которых имеет нагруженный резерв с идеальным переключением. Распределения наработки до отказа показательные. При испытаниях отказавшие компоненты заменяются. Заданы вероятности безотказной работы Ро (t) = 0,98; Pi (t) = 0,96; t = 2 ч; риски а = 3 = 0,1. Испытания проводятся до окончания запланированного времени t. Требуется определить С и Решение. Применяется расчетно-экспериментальный метод, т. е. по суммарной статистике об отказах основных и резервных устройств обоих типов определяются интенсивности отказов и соответственно, а затем вычисляется оценка Р (О = {2e*-e-*) (2ei-e-f). (23.65) Поскольку для оценки каждого из параметров и Х используется статистика двух устройств и оценка проводится до окончания времени t, дисперсия вычисляется как Х/2П„. С учетом этого формула для DP имеет вид DP = (2е-г е-iif (е-i - е-2i*)2 4-(2е-*-е-2-.<)(е-« -e-2V)2 2biL. (23.66) При Р = 0,98 переменные и могут изменяться от одного крайнего набора значений = О, Х = 0,075 ч- (при этом все отказы сосредоточены во второй паре устройств) до другого Х = 0,075 ч-, Х = О (все отказы в первой паре). Очевидно, функция DP симметрична относительно средней точки Xi = Х = = 0,053 ч- и, как нетрудно убедиться, монотонна по обе стороны от нее. Прямой подсчет показывает, что DP максимальна именно при обоих упомянутых крайних наборах значений, где она равна 0,00862/П„. Аналогично при Р = 0,96 максимальная дисперсия равна 0,0231/П„ при Х = 0,112, = О (или наоборот). Поэтому система (23.60), (23.61) примет вид: 0,98-1,28.-0-С = 0; 0,96+1,28-- ~С = 0. Решением системы является С = 0,972; „ = 245 ч. По сравнению с обычным методом испытаний, при котором изделие рассматривается как одно целое, здесь также имеется существенный выигрыш во времени. Действительно, для испытаний такого изделия при тех же исходных данных требуется около 470 циклов длительностью t, т. е. не менее 940 ч. Оценочный норматив не меняется: для приемки допускается не более 13 циклов с отказами, что соответствует С = (470 - 13)/470 = 0,972. 23.10. КОНТРОЛЬ ПОКАЗАТЕЛЯ НАДЕЖНОСТИ ПО ДОВЕРИТЕЛЬНЫМ ГРАНИЦАМ Пусть R - некоторый показатель надежности, истинное значение которого неизвестно. В общем случае R может зависеть от нескольких неизвестных параметров: R = R (в), е = (Sj, 6). Рассмотрим задачу контроля показателя R по двум заданным уровням приемки и браковки Rq < Ri. Требуется по результатам испытаний x принять одно из двух решений (гипотез): Я„ = {7? < Ро): Н,= {R> Rx) при заданных значениях рисков первого и второго рода а, р. Данную задачу можно решать на основе доверительных границ для показателя R. Пусть g = g (х) - статистика (результат испытаний), исходя из которой строятся доверительные границы. Например, в § 23.6 в качестве такой статистики используется суммарное количество отказов = 2dj. В некоторых случаях в качестве исходной статистики используется точечная несмещенная оценка показателя = R (х) ИТ. п. Пусть R, R - нижняя и верхняя доверительные границы для R с коэффициентами доверия соответственно Vi, -уг- Зависимость доверительных границ от результата испытаний g и коэффициентов доверия обозначим: = (i. Yi); R-Ra, Та). (23.67) Типичной является монотонная зависимость граниг R, R от результата испытаний g. Пусть для определенности функции (23.67) монотонно возрастают по i. Кроме того, нижняя граница, как правило, монотонно убывает по коэффициенту доверия а верхняя граница возрастает по -уг- Зафиксируем значения рисков а, р и положим Vi = 1 - Тг = 1 - Р. Основная система неравенств для построения решающего правила (критерия) на основе доверительных границ имеет вид: R(C,l-a)> Ро; Р (С, 1 - Р) < Pi. (23.68) Предположим, существует решение С системы неравенств (23.68), т. е. такое значение результата испытаний С, при котором доверительный интервал (Р, R) попадает внутрь интервала (Ро, Pi). В этом случае введем следующее правило принятия решения по результату испытаний g. Принимается решение: . . •• Яо, если g < С; я1, если I > С. (23.69) Сформулированное решающее правило (23.69) имеет риски первого и второго рода не большие, чем величины а, р. Если при выбранных значениях а, р система неравенств (23.68) не имеет решения, то построение решающего правила с этими рисками невозможно в данном эксперименте (по крайней мере, на основе статистики g). В этом случае необходимо либо увеличивать риски, либо проводить эксперимент с большим объемом наблюдений. (Предполагается, что объем наблюдений определяется заранее, до проведения испытаний.) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 [135] 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |