|
| |
|
Слаботочка Книги Построение решающего правила сводится к решению системы неравенств (23.68). Практически решение удобно находить следующим образом. При фиксированном а = 1 - Vi будем увеличивать значение до тех пор, пока нижняя граница i?* впервые не превысит уровень i?,,, т. е. положим С = min {I: (I, I - а) > R}. (23.70) При найденном значении С вычислим верхнюю границу R = Rjf, 1 - 3). Если Р" < то критерий с рисками не хуже а, р - построен. Если R > R, то такие риски не могут быть обеспечены в данном эксперименте. В этом случае, увеличивая р до тех пор, пока R не окажется меньше, чем R, находим минимальное значение р (при фиксированном а), которое может быть обеспечено в данном эксперименте. Если при найденном значении С неравенства (23.67) оказываются строгими, то риски построенного критерия фактически меньше значений а, р.Точные значения рисков могут быть в этом случае найдены следующим образом. При фиксированном I = С будем уменьшать ос, р до тех пор, пока доверительный интервал (R, ) еще остается внутри интервала (Ro, Rj). Нижняя граница при этом убывает, а верхняя R - возрастает. Значения а, р, при которых неравенства (23.68) обращаются в равенства, являются точными значениями рисков построенного критерия. Пример 23.4. Пусть R = К - неизвестный параметр интенсивности отказов элемента с функцией распределения наработки F (t) = I - е-. Уровни приемки и браковки равны соответственно: /-о = 0,1; = 0,25. Заданные значения рисков первого и второго рода; а = 0,1; р = 0,1. Испытания проводятся с восстановлением отказавших элементов до фиксации заранее определяемой суммарной наработки S = 16. (Например, по плану [NRT] NT- S.) Результатом испытаний является наблюдаемое число отказов d. Требуется найти доверительные границы и принять решение о виде гипотезы. Решение. Нижняя и верхняя доверительные границы с коэффициентами доверия Yi, Y2 для Л определяются по формулам: x.(.,vJ=«=;M..v.)=b<5«. (23.7,, Неравенства (23.68) имеют вид: X (С, 1 - а) = Ха (C)/S > 1 (С, 1 - Р) = х!-Р (C)IS < К (23.72) При а = 0,1 из первого неравенства вычислим константу С как минимальное значение результата наблюдений d, при котором нижняя граница попадает в интервал (Хо, Xl): С = min {d : X {d, 1 - а) > Хо) = 3. (23.73) Соответствующее значение нижней границы Х (С, 1-а) = 1,74/16 = 0,109. При р = 0,1 верхняя граница X (С, 1 - Р) = 0,417. Эта величина больше второго уровня Xl, и, следовательно, риски а = р = 0,1 не могут быть обеспечены. Увеличивая значение р так, чтобы верхняя граница X (С, 1 - Р) попадала в интервал (Хо, Xl), получаем, что при а = 0,1 минимальное возможное значение риска второго рода в условиях данного эксперимента р= 0,43. Решающее правило (критерий) с рисками а < 0,1; р = 0,43 имеет вид: решение Яо принимается, если число наблюдаемых на испытаниях отказов d < 3. Если d > 3, то принимается решение Н. Предположим, что объем испытаний увеличен: S = 53. Повторяя указанную процедуру при а = 0,1, р = 0,1, находим С = 8, соответствующее значению нижней границы К {С, 1 - ос) = 0,103 > Хд. Верхняя граница X (С, 1 - Р) = = 0,245 < Ai, и, следовательно, в этом случае риски а = р = 0,1 могут быть обеспечены. Соответствующий критерий имеет вид: решение принимается, если число наблюдаемых отказов d < 8. Если d > 8, принимается решение Я. Пример 23.5. Рассмотрим систему с последовательным соединением элемен- тов. Вероятность безотказной работы системы к заданному времени t Р = Т] 1 = 1 где pi = е~*, Ki - параметр интенсивности отказов i-ro элемента. Испытания по i-му элементу проводятся до фиксации заранее определенного времени суммарной наработки St, в результате чего наблюдается число отказов dj, i = 1, ... т. Требуется построить доверительные границы и принять решение о виде гипотезы. Решение. Оценка показателя Р по результатам испытаний сводится к оценке взвешенной суммы неизвестных пуассоновских параметров Р= 2 Л,/5„ AtKiSi (23.74) 1 = 1 по вектору пуассоновских случайных величин d = (di, d)- В качестве доверительных границ для R возьмем границы, вычисляемые на основе статистики - суммарного количества отказов по различным элементам = 1 + 2+ ... + dm (метод плоскости). Упорядочим индексы элементов в порядке убывания объемов испытании тп Нижняя и верхняя границы с коэффициентами доверия у, у для R определяются по формулам: (i,Ti)=5(!-v.®/Si; (23.75) где Si, Sjn - соответственно максимальный и минимальный объемы испытаний по элементам системы (см. § 23.6). Система неравенств (23.68) имеет вид: Xa(Q/5x >Ро; 5(!-Р (Q/Sm<Pi. (23.76) Пусть число элементов системы m = 3. Объемы испытаний: Si = 95; Sg = = 80; 5з = 60. Заданные уровни: Rq = 0,100; Ri = 0,300; риски первого и второго рода: а = 0,2; р = 0,1. При а = 0,2 из первого неравенства в (23.76) находим С = min {I: xl (21 + 2)/Si > R,} = 12. (23.77) Соответствующее значение нижней границы R (С, 1 -ос) = 0,104 > Ро- Верхняя граница Р (С, 1 - р) = 0,296 попадает в интервал (Ро, Pi). Критерий с рисками не хуже заданных значений а = 0,2, р = 0,1 построен и имеет следующий вид. Решение Яо принимается, если суммарное количество отказов элементов, полученное на испытаниях, di + ... + dm<Ci2. В противном случае принимается решение Я1. Нижняя и верхняя доверительные границы R (g, yi), R (g, -уг) в общем случае могут быть найдены из уравнений: F* {R, Ю = Yi; Р* (R, S) = 1 - Y2, (23.78) F„(R, 1)= min F(Q,ly, (23.79) НФ) = Я F*(R,l)= max F(Q,l), (23.80) (6, I) - функция распределения статистики при данном в. (Предполагается, то функции (23.79), (23) монотонно убывают по R, что соответствует условию озрастания границ R, R по .) Основная система неравенств (23.68) может быть аписана в следующей эквивалентной форме: F,,iRo, С)>1~а; F* (R, С) < р. (23.81) Нижняя и верхняя доверительные границы R (, у), R(l, у) могут быть акже найдены из уравнений: К {R, Уг)I; KiR, у,)1, (23.82) K{R,y)= max ky (6); (23.83) K{R,y)= min ki-y{Q), (23.84) - R(e)=R -V (6) - квантиль уровня у функции распределения F (Q, ) статистики при дан-IOM е. (Предполагается, что функции (23.83), (23.84) монотонно возрастают по Основная система неравенств (23.68) может быть записана в следующей экви-галентной форме: К (Ro, l-a) С; К (Ri, 1 - р) > С. (23.85) Лоследняя форма записи основных неравенств (23.85) удобна при решении задали планирования объема испытаний исходя из заданных значений Rq, R, сс р. Эбозначим зависимость функций (23.83), (23.84) от объема испытаний п как: К = = К {R, у, п); К = К {R, у, п). Неравенства (23.85) после исключения С запишутся в виде К~(Ro, 1-а,п)<К (Ri, 1 - Р, п). (23.86) Типичным является случай, когда левая часть неравенства (23.86) монотонно убывает, а правая - возрастает по п. Таким образом, минимально необходимый объем испытаний, при котором могут быть обеспечены заданные риски ос, Р, определяется как минимальное число п, при котором выполняется неравенство (23.86). Указанное неравенство удобно применять, в частности, тогда, когда статистика I представляет собой несмещенную точечную оценку R и для распределения I можно использовать нормальное приближение. В этом случае величины К, К представляются в виде: К (R, y,n) = R + Uy /D+ (/?); (23.87) K{R, у, n) = R~-UyVW, (23.88) D+ (R) = max D (6), (23.89) D (6) = Ев (R - R) - дисперсия несмещенной оценки = R при данном 6; Uy - квантиль уровня у стандартного нормального распределения. В схеме независимых испытаний величины 0(6), {R) обратно пропорциональны характеристике объема испытаний п. Задача в этом случае сводится к отысканию функции D+ (R) - максимальной дисперсии несмещенной оценки Р при фиксированном значении показателя R. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [136] 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |