Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [14] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

0 11 . п

Рис. 4.4. Граф переходов, описывающий «схему гибели»

ние Ят+1 ПО условию 2 является состоянием отказа («поглощающим»). Состояние Hj есть такое состояние системы, в котором у нее есть / отказавших элементов.

Граф переходов рассматриваемой системы представлен на рис. 4.4, в соответствии с которым получаем систему дифференциальных уравнений следующего вида:

р] (t) = Afi pfi (t) - AjPj (t), 0 < /• < n -f 1; Л 1 = Л„.,1 = 0.

Здесь pj (t) есть вероятность того, что система в момент времени t находится в состоянии Hj. Пусть эти вероятности удовлетворяют начальным условиям:

Ро (0) = 1; Pi (0) = 0; 1 < / < /п + 1,

т. е. система в момент времени t является полностью исправной.

Таблица 4.5

Вероятность безотказной работы системы, поведение которой описывается

«схемой гибели»

Показатель

Точное значение

Приближенное значение

- Условие приближения

(m-f 1)!

П А,-

п А, 2 - „

max Aj/o С 1

2 АгЛ

0<г< т

т велико (применима аппроксимация суммы случайных величин нормальной

величиной)

Соответствующие выражения для вероятности безотказной работы представлены в табл. 4.5. Выражение для средней наработки до отказа

Т= 2 Л

0<;i<m

Если рассматриваемая система состоит из идентичных элементов, то для нагруженного режима работы резервных элементов

Aj = kX + (n - j) Я = (TV - /) Я, О < / < п,

где К - интенсивность отказов одного элемента; N = k -{ п; для облегченного режима

Aj = kX + {п - /) vX, О < /• < п,

где \К - интенсивность отказов одного резервного элемента; О <С v <С 1; v - коэффициент нагруженности резерва; для ненагруженного режима

Aj = kk, О < у < п.

г л а в а 5 СИСТЕМЫ С ВОССТАНОВЛЕНИЕМ

5.1. ОБЩАЯ СХЕМА МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА

5.1.1. Принцип составления графа переходов. Аналитические выражения и конструктивные вычислительные схемы для различных показателей надежности восстанавливаемых систем могут быть получены для тех случаев, когда все распределения наработки до отказа перемени восстановления отдельных элементов являются экспоненциальными, т. е. процесс функционирования системы описывается однородным марковским процессом.

Следует заметить, что предположение об экспоненциальности распределений не всегда оправдано. Особенно это относится к распределениям времени восстановления, поскольку предположение о независимости оставшейся длительности ремонта от уже затраченного на ремонт времени довольно неестественно. Однако если в среднем наработка до отказа элементов значительно больше времени ремонта, то многие показатели надежности не зависят от характера распределения времени восстановления.

Если известно словесное описание структуры и принципа функционирования и восстановления работоспособности системы, то можно определить множество всех возможных состояний системы, причем, задав определенный критерий отказа, все состояния можно разделить на два класса: работоспособности и отказа. Если известны интенсивности отказов и восстановления отдельных элементов системы, то можно построить граф переходов, вершинами которого будут возможные состояния системы, а ребрами - возможные переходы с интенсивностями, определяемыми соответствующими характеристиками безотказности и ремонтопригодности элементов. Например, если известно, что система находится в некотором состоянии Hi и для перехода ее в состояние Hj необходимо, чтобы произошло определенное событие (отказ или восстановление какого-либо элемента), то от состояния Hi к состоянию Hj проводится стрелка, у которой указывается интенсивность реализации данного события. Заметим, что при построении подобных графов не все события (переходы) могут оказаться разрешенными. Все ограничения на граф переходов в явном виде содержатся в словесном описании принципа функционирования и восстановления системы.- На основании построенного графа переходов легко выписать необходимую систему уравнений, решение которых позволит получить требуемый показатель надежности.

5.1.2. Расчет нестационарного коэффициента готовности. Обозначим через Е+ множество состояний работоспособности, системы, а через Е- - множество состояний отказа (в соответствии с выбранным критерием отказа). Обозначим через Е (k) множество тех состояний, из которых возможен непосредственный переход в некоторое состояние k, а через е (k) -множество состояний, в которые возможен непосредственный переход из данного состояния k.

Для каждого состояния k можно записать следующее дифференциальное уравнение:

рИО = -рЛО 2 A,i+ S Ait), (5.1)

lee(ft) je£(ft)

где запись i А означает, что суммирование ведется по всем таким состояниям i, которые относятся к множеству А. Через Aij обозначена интенсивность перехода из состояния i в состояние /, а через pj (t) - вероятность пребывания системы в состоянии Hi в момент времени

Если граф переходов содержит п различных состояний, то в результате может быть составлено п различных дифференциальных уравнений. Для опреде-

ления нестационарного коэффициента готовности необходимо взять п - 1 уравнение (5.1) и одно дополнительное уравнение вида

а также начальные условия вида pi (0) = pt, где через р (0) обозначена вероятность состояния в момент времени / = 0. Если известно, что в момент времени t = О система находится именно в состоянии Hi, то Pi (0) = 1 и pj (0) = О для всех остальных состояний / ф L

Для нахождения искомого показателя надежности к записанной системе дифференциальных уравнений применяется преобразование Лапласа, в результате чего получается система алгебраических уравнений:

s<Pfe(s)-Рй=-(Pft(s) S S Aift(pj(s)

(для выбранных п - 1 уравнений);

2«Фг(8)=1, 1 = 1

- преобразование Лапласа для pi [t).

Эту систему уравнений удобно записать в форме:

цфх (s) + &12ф2 (s) -f ... -f fci„(p„ (s) = q,

211 (S) + &22ф2 (S) -f ... -f гпфп (s) = C2, ni<Pi (S) + fc„2<p2 (S) + ... + b„n<Pn (S) = C„,

где bij - коэффициент при /-м члене в /-й строке; Cj - t-й свободный член.

Данную систему алгебраических уравнений можно решить, используя правило Крамера:

Ф, (S) = (s)/D (S),

где D (s) - определитель системы алгебраических уравнений, а (s) - тот же определитель, в котором г-й столбец заменен на столбец свободных членов.

Далее находим преобразование Лапласа нестационарного коэффициента готовности:

ф{5)= 2 Чг(«) = -г 2 A(s).

Для обращения полученного преобразования Лапласа можно пользоваться следующей простой процедурой;

1. Записываем

Фis) = 0+ As+A,s.\-....{.As" 2

Во + Bi s+fi ... + Bm+i •

где Aj и Bj- - известные коэффициенты.

2. Находим корни полинома:

Во Л- Вф + Вф-" -Ь ... -f Bm+is«+i = 0.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [14] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199