|
| |
|
Слаботочка Книги а) Р {Xj>n\Xi, .... Xk-i} зависит от Xj, .... Xk~i только через их сумму Zk-i = Xl + ... + Xk-il б) Р {Xfe > n\Zk-i = z} < Я {Xk+i > n\Zk = z}; в) если P {Xk > = z} возрастают no z, то VP {X + ... + X„x} убывает no ft = 1, 2, ... Если Xl, Хг, ... удовлетворяют этим условиям, то распределение Н (t), определяемое формулой • Я(0= V e-«iM)lp{Xi + ...+X,<x}, kTo является ВСФИ-распределением. Определенные классы распределений вероятностей возникают совершенно естественным образом при исследовании систем с заменой элементов. 25.2.3. НЛИ (НХИ). Распределение наработки до отказа F называется «новое лучше (хуже) использованного» или сокращенно НЛИ (НХИ), если F (х +у) (»Р {х)Р{у) (25.1) для X > о, у > 0. Это эквивалентно утверждению о том, что условная вероятность безотказной работы F (х + y)lF {х) элемента с наработкой х меньше (больше), чем соответствующая вероятность безотказной работы для совершенно нового элемента. (Равенство в (25.1) имеет место тогда, и только тогда, когда есть экспоненциальное распределение.) 25.2.4. НСЛИ (НСХИ). Распределение наработки до отказа F называется «новое в среднем лучше (хуже) использованного» или сокращенно НСЛИ (НСХИ), если; 1) F имеет конечное (конечное или бесконечное) математическое ожидание; 2) j F(x)dx<(»pF(/) для i>0. Заметим, что интеграл -W- dx F(t) представляет собой условную остаточную наработку (условное математическое ожидание наработки до отказа) элемента, проработавшего безотказно в течение времени t. Следовательно, для НСЛИ-распределения остаточная наработка до отказа элемента с наработкой t меньше, чем у нового элемента. Отсюда следуют отношения между различными классами распределений ВФИ с ВСФИ с= НЛИ с НСЛИ; УФИ с: УСФИ с= НХИ с: НСХИ. НЛИ-, НСЛИ-, НХИ-, НСХИ-классы распределений наработки до отказа появляются при исследовании моделей накопления ударов, которые описываются ниже. Модель 1. Предположим, что некоторое устройство подвергается ударным воздействиям, моменты появления которых образуют пуассоновский поток с интенсивностью К. Предположим, что вероятность того, что устройство благополучно перенесет к ударов, равна р, где 1 = ро Pi ••• Тогда вероятность безот- казной работы устройства Я (t) в течение интервала времени [О, t] определяется как Я (О = 2 Pftе- для О < i< оо. Если теперь предположить, что вероятность безотказной работы устройства при воздействии очередных k ударов тем меньше, чем больше ударов перенесло данное устройство в течение предыдущей работы, то тогда можно заключить, что распределение Я есть НЛИ-распределение. Модель 2. Если удовлетворяют условию Ph+i<(»Ph~Pi для й=0, 1,2,..., 1,2,..., то я есть НЛИ (НХИ)-распределение. Если pft удовлетворяет условию я SP,>«) =0,1,2,..., /=о i=k то я есть НСЛИ (НСХИ)-распределение. 25.3. СОХРАНЕНИЕ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ ИНТЕНСИВНОСТИ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ Практический HjjTCpec представляет выяснение того, при каких преобразованиях сохраняются те или иные распределения. 25.3.1. Свертка распределений. Свертка ВФИ-распределений является ВФИ-распределением, например резервированная система с ненагруженный резервом, у которой каждая из элементов имеет ВФИ-распределение времени безотказной работы. Свертка УФИ-распределений не является УФИ-распределением. Например, если элемент имеет гамма-распределение порядка а, где 0,5 < а < 1, то дублированная система с ненагруженным резервом будет иметь гамма-распределение наработки до отказа порядка 2а (2а > 1), т. е. строго ВФИ-распределение. 25.3.2. Смесь распределений. Смесь УФИ-распределений является УФИ-распределением. Пусть имеется несколько партий элементов, каждая из которых характеризуется УФИ-распределением наработки до отказа. Если смешать все элементы этих партий, то такая объединенная партия элементов будет также иметь УФИ-распределение. О смеси ВФИ-распределений в настоящее время нет определенного утверждения. Ясно, что смесь ВФИ-распределений необязательно дает ВФИ-распределение. Более того, не найдены условия, когда это вообще имеет место. (Смесь экспоненциальных распределений, являющихся граничными для ВФИ- и УФИ-распределений, дает, например, строго УФИ-распределение.) 25.3.3. Формирование монотонной структуры. Напомним, что структура называется монотонной, если структурная функция Ф системы из п элементов обладает следующими свойствами: Ф (х) > Ф (х*), если X > X* , где X = {xi, Хп), причем i 1, если i-й элемент работоспособен, [ О В противном случае. Естественно, что Ф (0) = О и Ф (1) = 0. (Здесь 0==(0, 0); 1 = (1, 1).) представляется, что монотонная структура из элементов с ВФИ-распределе-ниями наработки до отказа будет всегда иметь ВФИ-распределение наработки до отказа. Однако это легко опровергнуть. Рассмотрим дублированную систему из различных элементов, каждый из которых имеет экспоненциальное распределение наработки до отказа с параметрами Xj и Х соответственно. Интенсивность отказов системы будет }.(t)- ie~4X,e--(V+2)e-<+-> ее-*-е-<-=>* Функция К (t) не является монотонно возрастающей для всех Xj, Я, как это видно из рис. 25.1. Рис. 25.1. Вид функции интенсивности отказов для невосстанавливаемой дублированной системы из различных элементов
25.3.4. Дополнительные примеры. Предположим, что случайные величины Ej, Eg, En взаимно независимы и имеют ВСФИ-распределение. Тогда следующие преобразования случайных величин приводят также к ВСФИ-распределению: 1) min max 8j, V s = "; 2) Ei-f e2 + ... + 8„; i 1 = 1 при 0<p; n r n 4) у n... Если Kl, Ki, Kh есть минимальные-сечения двухполюсной сети, то максимальный поток через сеть определяется рак min 2 Sj. k teK где Ei есть случайные по величине пропускные способности дуг графа. Максимальный поток через сеть для определенных выше случайных величин 8 также будет иметь ВСФИ-распределение. Результаты воздействия различных операций на указанные распределения сведены в табл. 25.1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 [142] 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |