|
| |
|
Слаботочка Книги Сохранение вида распределения при преобразованиях Операции иад распределениями
25.4. ГРАНИЧНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ Эти оценки представляют интерес для вероятности безотказной работы и других показателей надежности в предположении, что известен один из моментов распределения наработки до отказа или квантиль этого распределения, а само распределение является ВФИ, ВСФИ, УФИ и УСФИ. Такие граничные оценки полезны в различных прикладных задачах надежности, поскольку довольно типичной при оценке надежности является ситуация, когда, например, на основании эксперимента известно только среднее значение наработки до отказа, а также априори известно, что элементы подвержены износу или старению. 25.4.1. Граничные оценки вероятности безотказной работы по одному известному значению квантили. Если F есть ВСФИ (УСФИ)-распределение с квантилью 8р уровня р (это означает, что F (e) = р), то 1 <(»е- для i>8p, где а определяется из условия а = log (1 - р). 25.4.2. Граничные оценки вероятности безотказной работы по одному известному моменту распределения. Введем предварительно понятие звездообраз- ности функции. Звездообразной функцией называется такая, для которой любой луч, проведенный из начала координат до точки пересечения с этой функцией, лежит выше нее. Иными словами, x-F (х) возрастает для х >0. В частности, выпуклые вниз функции являются подклассом звездообразных функций. Если обратная функция (F (х)) является звездообразной, то будем записывать F < G. * Теперь можно сформулировать следующие оценки. Если F < G, F (0) = G (0) = О, F и G - непрерывные функции распределения с равными г-ми начальными моментами оо оо Шг tdFit) tdG{t) для фиксированного значения г > 1, то G{t) для t<:Vmr, О для tYnir. и fX, Если F есть непрерывное ВФИ-распределение с г-и начальным моментом гпг F{t)\ е для t<Ym„ о для fYfr. Понятно, что если известен первый начальный момент (математическое ожидание или в данном случае средняя наработка до отказа), то Q-t/T для t<:T, о для tT. Если F есть ВФИ-распределение со средним Т, то для всякого фиксированного / > О F(0< 1 для /<7, e-i для t>T, где > О и является функцией t, удовлетворяющей условию \~WtT = е-(. Значения F (t) для t7> Т приведены в табл. 3.4. Характер поведения верхних и нижних границ для ВФИ-распределения показан на рис. 3.1. Если F есть УФИ-распределение со средним значением Т, то F(t): е-«/ для tT, Te-4t для f>T. Если F есть ВСФИ-распределение и J fdF (О = для г > О, F(t)> min(e е-«) для t<:Vmr, г о для tynir, где bg определяется из уравнений sr(l- e-«) +j rbe-sdtm, Г(г+1) Численные значения нижней оценки для ВСФИ-распределения при mj = = Т = I приводятся в табл. 3.7. 25.4.3. Граничные оценки вероятности безотказной работы по известному среднему и дисперсии. Аналитические выражения в неявной форме очень громоздки даже для получения границ, поэтому здесь приводятся лишь таблицы в сокращенной форме (см. табл. 3.5 и 3.6). 25.4.4. Граничные оценки для моментов распределения. Если F есть ВСФИ <УСФИ)-распределение с известным средним значением Т, граничные оценки для г-го начального момента распределения Шг = J fdF (t) определяются как: т, >«) Г(,-+ 1)7 для 0<А-< 1; Шг < (» Г (,- + 1)7- для 1 < г< оо. В частности, при г = 2 для F, являющегося ВСФИ (УСФИ)-распределением, находим, что < (» 27 или, что эквивалентно, неравенству для коэффициента вариации -jr <(>)!, где = - 7 Г л а в а 26 НАДЕЖНОСТЬ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 26.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 26.1.1. Предварительные замечания. Под механической системой будем понимать некоторый объект, взаимодействующий с окружающей средой и выполняющий определенные функции, связанные с изменением во времени и пространстве взаимного расположения взаимодействующих между собой элементов. В зависимости от типа рассматриваемых элементов механическая система представляет собой систему материальных точек, твердое тело, сплошную среду и т. д. По характеру изменения во времени и взаимодействия ее элементов состояние механической системы описывается уравнениями статики, кинематики или динамики. Методы исследования механических систем широко применяются при расчетах машин, механизмов, строительных сооружений и конструкций, транспортных средств, летательных аппаратов й т. п. 26.1.2. Нагрузки и воздействМ на механические системы. По своей природе нагрузки и воздействия на механическую систему со стороны окружающей среды являются случайными. Случайный характер нагрузок определяется случайными значениями параметров нагрузки, случайным распределением ее во времени и в различных точках системы, случайным сочетанием различных нагрузок и многими другими факторами. С математической точки зрения случайные нагрузки описьшаются случайными величинами с заданными законами распределения, случайными процессами, случайными полями или пространственно-временнйми случайными функциями.Примером первого типа нагрузок служат нагрузки, статически приложенные в отдельных точках или узлах конструкции. Случайными процессами описываются, например, кинематические воздействия на колеса транспортных средств, движущихся по неровному пути. Нагрузки от технологического оборудования на перекрытия промышленных зданий могут служить примером нагрузок, для описания которых привлекаются методы теории случайных полей. Пульсации давления в турбулентном пограничном слое, действующие на поверхности летательного аппарата, являются примером пространственно-временной случайной нагрузки. В предела каждого типа нагрузки могут быть классифицированы по различным признакам. Так, нагрузки, задаваемые в виде случайных процессов, могут быть стационарными или нестационарными, скалярными или векторными, одно- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 [143] 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |