|
| |
|
Слаботочка Книги мерными или многомерными, дискретными или непрерывными, кратковременными или длительными и т. д. 26.1.3. Механические свойства материалов и элементов конструкций. Вероятностные свойства поведения механической системы определяются не только случайным характером внешних нагрузок, но и изменчивостью механических свойств материалов, из которых изготовлены отдельные элементы, а также изменением характера взаимодействия элементов в процессе эксплуатации, неточностью изготовления и рядом других факторов/ Стохастический характер изменчивости механических свойств материалов-имеет двоякую природу. Во-первых, в процессе эксплуатации происходит изменение во времени параметров, определяющих механические свойства системы. Эти изменения связаны со старением материала, с ухудшением прочностных характеристик, с накоплением повреждений, коррозионным и фрикционным износом, а также с изменением свойств в процессе восстановления и ремонта отдельных элементов. Во-вторых, изменчивость проявляется при рассмотрении данной системы как элемента из множества систем, свойства которой стохастически меняются при переходе от одного элемента к другому. 26.1.4. Особенности расчета механических систем на надежность. Надежность механических систем определяется множеством факторов, важнейшими из которых являются: воздействие случайных внешних нагрузок, свойства самой системы и ее элементов, характер взаимодействия элементов, конструктивные и технологические особенности и т. п. Оценка надежности механической системы складывается из следующих основных этапов. Сначала с использованием методов механики сплошной среды, твердого тела или материальных точек выбирается расчетная схема реальной системы, строится ее математическая модель. Выбор расчетной,схемы включает также аппроксимацию внешних нагрузок и их вероятностное описание. После этого методами статистической динамики находятся вероятностные характеристики параметров, определяющих поведение системы при случайных воздействиях. Затем определяются параметры, характеризующие качество системы, и находится допустимая область,, в которой параметры качества должны сохраняться в установленных пределах. Далее производится оценка показателей надежности и долговечности. 26.1.5. Отказ как выброс случайного npoicca из допустимой области. Рассмотрим механическую систему, взаимодействующую с окружающей средой. Пусть внешние воздействия q могут принимать значения из пространства Q. Стохастическое поведение системы будем характеризовать элементами и £ U, при этом пространство U выбирается таким образом, чтобы с помощью его элементов можно было в рамках выбранной расчетной схемы достаточно полно описать состояние системы. Свойства системы характеризуются оператором L, который каждой реализации элементов из пространства воздействий Q приводит в соответствие реализацию элементов в пространстве состояний U: Lu = q. (26.1) В задачах механики оператор JL обычно представляет, хобой-щфференци-альный оператор, причем запись основного уравнения в форме (26.1) включает также начальные и краевые условия. Исследование уравнения (26.1) при случайном внешнем воздействии составляет предмет статистической динамики. В теории надежности механических систем определяющим является пространство качества V. Это пространство выбирается таким образом, чтобы с помощью его элементов v можно бььло достаточно полно характеризовать качество функционирование! системы. Связь между элементами v и и дается операторным соотношением , Т - V = Ми. при нормальной эксплуатации системы ее параметры качества должны сохраняться в установленных пределах в течение всего нормативного срока службы. Математически это соответствует нахождению элементов v в допустимой области Q пространства качества V. Граница Г этой области, соответствующая наступлению предельных состояний в системе, называется предельной поверхностью. Выход траектории v (t) из допустимой области Q соответствует отказу системы. Таким образом, наступление отказа интерпретируется как случайное пересечение траекторией процесса v (t) предельной поверхности Г или как выброс случайного процесса \ (f) из допустимой области Q. 26.1.6. Показатели надежности. Основной показатель надежности Р (t) вводится как вероятность безотказной работы на отрезке времени [О, t], что соответствует вероятности нахождения вектора качества v (t) в допустимой области Q в течение этого отрезка времени: P{t) = Р {V (т) € £2; т е [О, й). (26.2) - />/: > ij Введенный таким образом показатель надежности вычисляется на основе теории выбросов случайных процессов и полей. В (26.2) не учитывается разброс физико-механических свойств материалов, который имеет место, например, при переходе от одного элемента множества систем к другому, и разброс параметров нагрузок. Пусть случайные свойства параметров системы характеризуются векторной случайной величиной г, а разброс параметров внешнего воздействия q (t) определяется вектором s. Совместную плчтность вероятности параметров г и s обозначим через р (г, s). Вероятность безотказной работы в этом случае находится по формуле полной вероятности P{n = \\Pit\, s)p(r, s)drds, где интегрирование производится по всей области изменения параметров г и s. Условная вероятность безотказной работы Р (t\v, s) вычисляется аналогично (26.2) для системы с фиксированными параметрами г и s; при этом вектор качества будет зависеть от г и s, а допустимая 4(.t) I область - от параметра г. 26.1.7. Примеры постановки задач. Изложенный подход к определению надежности механических систем проиллюстрируем на простых примерах. Основное внимание в этих примерах уделено выбору пространства качества V и допустимой области Q в этом пространстве. 1. Рассмотрим шарнирно-опертую балку постоянного поперечного сечения, загруженную посредине пролета сосредоточенной силой Q (/) (рис. 26.1, а). Будем считать, что эффективная частота случайного процесса Q (t) много меньше низшей собственной частоты балки, так что процесс нагружения можно рассматривать как квазистатический. Напряженное состояние описывается максимальным значением изгибающего момента М (f) = 0,25 Q (t). Качество системы будем характеризовать максимальным нормальным напряжением в опасном сечении: а (t) = М {t)/W. Если нормальная эксплуатация возможна лишь при отсутствии пластических деформаций, то условие безотказной работы имеет вид 1а (t) \ < < a.j, где O.J - предел текучести. Пространство V будет одномерным, а область Q - отрезком прямой: Q= {v {t):\a {f) \ <: а,}. Формула (26.2) принимает вид Р (t) = Р{ - о., < о (т) < о.,; т 6 [0,t]}. На рис. 26.1, б показана реализация о (t). V 7777 б) Рис. 26.1. Шарнирно опертая балка (а) и реализация процесса нагружения (б) 2. Рассмотрим стержневую систему, загруженную квазистатическими сосредоточенными силами Qi (t) и Qi (t), как изображено на рис. 26.2, а. Случайные силы Q (t) и Qz (t) образуют вектор входных воздействий q (t). Пространство состояний будем характеризовать продольными усилиями Ni (О = iQi (О + QiJffVV и Ni (О = {<2i (t)~Qi Ш/У2. Про-  Рис. 26.2. Стержиеваи система (а) и ее пространство качества (б)  Рис. 26.3. Система ферменного типа странство качества определим напряжениями 01 {t) = Ni {t)/Fi и Oi{i) = = Ni (fjIFi в сечениях стержней. Область безотказной работы в пространстве качества будет характеризоваться отсутствием пластических деформаций и отсутствием потери устойчивости сжатых стержней: Q = = {V (0: - cT*i < oj (t) < а; / = = 1,2}; aj F) = EJj/2P - эйлерово значение сжимающей силы. Пространство качества будет двумерным, а допустимая область представляет собой прямоугольник (рис. 26.2, б). При этом вероятность безотказной работы находится как Р (t) = Р{ - aj < Gj (т) < о,; / = 1,2; т 6 [О, Щ. 3. Рассмотрим стержневую систему ферменного типа (рис. 26.3), состоящую из п стержней и загруженную случайными силами Qi (t), Qi (t), Q (0- Пространство качества и вероятность безотказной работы определяются аналогично примеру 2. При этом пространство качества V будет п-мерным, а допустимая область в этом пространстве представляет собой п-мерный параллелепипед. 4. Рассмотрим простейшую постановку задачи о виброзащите приборов и оборудования. Амортизируемый объект массой М будем трактовать как систему с одной степенью свободы (рис. 26.4, а). С помощью вязкоупругого элемента с жесткостью с и коэффициентом демпфирования b объект присоединен к контейнеру, который совершает колебания с ускорением а (f). Перемещение и (t) массы относительно контейнера удовлетворяет уравнению Ми + Ьи + си = - Л1а, которое является реализацией операторного соотношения (26.1) для данного примера. Для надежного функционирования системы требуется, чтобы абсолютное виброускорение в объекте не превышало предельно допустимого значения а.. It" 
Рис. 26.4. Система с одной степенью свободы (й) и ее пространство качества (б) Рис. 26.5. Вид допустимой области для плоской задачи  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [144] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |