Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [145] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Кроме того, недопустимы соударения со стецками контейнера. Следовательно, вектор качества выберем следующим образом: v (О = (и (t) + а (t), и (t)}. Допустимая область в пространстве качества вводится как Q = {\ (t): \Vi (01 < а., -<С (t) <С «*} (рис. 26.4, б), а вероятность безотказной работы как

Р (О = Р{\и (т) + а (т) < а, - < ы (т) < ы; т 6 Ю. t]}.

5. Для плоской задачи теории упругости в качестве элементов пространства качества естественно выбрать главные напряжения (f) и Og (t) в некоторой характерной точке. Требование отсутствия пластических деформаций приводит к определению допустимой области в виде, например, шестиугольника Треска - Сен-Венана или эллипса Мизеса (рис. 26.5). При использовании критерия Ми-зеса вероятность безотказной работы находится как вероятность невыброса дву-мреного процесса v (t) = {а (t), Og (f)} из эллиптической области:

Р (t) =P{Vol (т) +а (г)~о, (т) (т) < а; т £ [О, /]}.

26.2. МОДЕЛИ ОТКАЗОВ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

26.2.1. Статические модели отказов. Отказ в теории надежности механических систем трактуется как нарушение условия нахождения параметра качества V в допустимой области Q. В зависимости от свойств системы и характера воздействия на нее внешних нагрузок описание отказов может быть проведено различными способами.

Рассмотрим статическое нагружение механической системы, когда состояние системы определяется конечным числом параметров - случайных величин. Условие безотказной работы формулируется в виде требования, чтобы некоторый характерный параметр качества v не превышал предельного значения w. Обычно в механических системах параметр охарактеризует напряжения, случайная величина W учитывает протностные свойства системы, а условие безотказной работы эквивалентно услов1ю прочности или условию сохранения несущей способности. При этом допустимая, область

Q = {v:v< w}. (26.3)

Вероятность безотказной работы определяется как вероятность выполнения неравенства в (26.3):

Р= 5 p(v,w)

dw, (26.4)

где р {v, w) - совместная плотность вероятности случайных величин v и w.

Если ввести вспомогательную случайную величину х = w - v, плотность вероятности которой Pj. (х) находится .через плотность вероятности р (v, w) по известным формулам теории вероятностей, то вероятность безотказной работы

Р= f pAx)dx. о

Пусть случайные величины vnw распределены нормально с математическими ожиданиями а„ и а, дисперсиями и и коэффициентом корреляции р. Тогда случайная величина х будет также распределена нормально с математическим ожиданием ах = - Oj, и дисперсией al = - 2ро„ + а. В этом случае вычисление по предыдущей формуле дает

Р = Ф (aja).

где Ф (х) - интеграл Лапласа в форме

Интенсивности и xjk марковского процесса находятся по формулам:

= f ii - Vjo) piv,t\ Vo, to) dv;

>jh = 1™ 4r f iJ- Jo) - P (v, I Vo, to) dv, At = t-to.

Для систем, у которых интенсивности не зависят явно от времени, переходная плотность вероятности зависит лишь от разности t - to, следовательно, dp/dto = - др/dt и уравнение (26.5) принимает вид

п п

V X, у У К,, -21 . (26.6)

Условная вероятность безотказной работы Р {t\Vo, to) вводится как вероятность невыхода векторного случайного процесса v (t) из допустимой области Q в течение отрезка времени [О, t] при условии, что в начальный момент времени to система находится в допустимой области:

P{t\yo,to)=- J p(v,vo,gdv.

Проинтегрировав уравнение (26.6) по переменной v в области v £Q, получим для условной вероятности безотказной работы уравнение, по виду совпадающее с (26.6):

= У X, JL + i V у , (26.7)

которое решается при начальном и граничном условиях:

P(01vo, о) = 1 (Vo 6 й); Р (Vo, to) = О, Vo е Г. (26.8)

Другие примеры применения формул (26.4) можно иайти в книге Капура К- и Ламберсона Л. Надежность и проектирование систем. Пер с англ. / Под ред. И. А. Ушакова.-М.: Мир, 1980, где рассматриваются наиболее распространенные законы распределения параметров vhw для механических систем: логарифмически-норыальное, экспоненциальное, гамма-распределеине, распределение Вейбулла, распределения экстремальных значений. {Прим. ред.).

У2л .)

- оо

Для случая, когда случайные величины vhw независимы и распределены по закону Рэлея с параметрами а„ и at„, формула (26.4) дает

26.2.2. Марковские модели. Пусть вектор качества v (t) представляет собой п-мерный диффузионный марковский процесс, который характеризуется переходной плотностью вероятности р (v, t\vo, Q, где = v(o)- Эта плотность вероятности как функция переменных у, удовлетворяет обратному уравнению Колмогорова

У н,--Ly У (26.5)

После решения уравнения (27.8) с условиями (26.8) вычисляется априорная вероятность безотказной работы

Р(0= j P(vo,Op(Vo)dVo. (26.9)

Время безотказной работы Т (vo, t, равное времени достижения вектором V {f) границы Г допустимой области при условии, что в момент времени tf, система находится в допустимой области, является случайной величиной с условной плотностью вероятности

dP{t\V„ to)

p{T\Vo,to)

t = T

Условное математическое ожидание случайной величины Т {v, t) определяется по формуле

ar(v„,g] = -J-id.,

которая после интегрирования по частям приводится к виду

* оо

M[T(vo,gi=5 P(ivo,/o)d/.

Для получения уравнения относительно М [Т (v,,, fo)l проинтегрируем почленно (26.7) по переменной t от нуля до бесконечности. Используя начальное условие Р (0vo, to) = 1, получаем уравнение Понтрягина

которое решается при граничном условии

М [Г (Vo, g] = О, Vo 6 Г. (26.11)

Аналогично для условных моментных функций М[Г* (vo, о)1 получим рекуррентную систему уравнений:

= -m[r*-(vo,g], k = 2,3,... (26.12)

с граничными условиями

М [Т" (vo. to)] = О, Vo 6 Г.

Система уравнений (26.12) решается приближенно с использованием, например, вариационного метода Бубнова - Галеркина. Среднее время безотказной работы М [Т] и моментные функции М [ТЧ находятся по формуле

М1Т\ 5 M{r*(Vo.g]p(Vo)dvo, /г = 1,2,...

Изложенный подход к определению показателя долговечности М [Т] проиллюстрируем на примере колебательной системы, рассмотренной в примере 26.4. Уравнение колебаний виброзащитной системы запишем в виде

и + 2гй + (л1и==~а (t). (26.13)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [145] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199