|
| |
|
Слаботочка Книги 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [146] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 Предположим, что а (t) - нормальный стационарный центрированный случайный процесс со спектральной плотностью SA<o) = -- л (62-соУ+4а2м2 ЧТО соответствует прохождению случайного процесса Е (t) через линейный формирующий фильтр второго порядка а + 2аа + 6 а = (t). (26.14) Здесь I (t) - нормальный стационарный белый шум единичной интенсивности; S = 4о2 аб Стохастическое дифференциальное уравнение (26.13), дополненное уравнением фильтра (26.14), описывает четырехмерный марковский процесс х = {и, и, а, а}, интенсивности которого равны: Xl = х; Хз = - 28X2 - tt>Xi - Xs, Из = Xi, Х4 = - 2aXi - 6X3; Х44 = s (остальные коэффициенты диффузии равны нулю). Уравнение (26.10) после введения обозначения (х) = М [Т (Xi, Xg, Х3, Х4)1 принимает вид ±s.- + XzJI 2 dxl дХу - (28X2 + Хз + tt>oXi) дх« -(2ах4 + е%)-=-1. (26.15) Допустимая область Q в пространстве качества представляет собой прямоугольник (см. рис. 26.4, б). На плоскости параметров Xi = ы, Ха = м эта область трансформируется в параллелограмм (рис. 26.6), а в расширенном четырехмерном фазовом пространстве допустимая область берется в виде цилиндра Q х R. Рис. 26.6. Вид допустимой области на плоскости (хи Zt3!2*4>of=a Решение уравнения (26.15) должно удовлетворять граничному условию типа (26.1л) и условиям ограниченности при Xg, X4-±oo. Приближенное решение ищется в виде ряда 7oW=2ftft(x), где фь (х) - полная внутри цилиндра Q х 7? система функций, удовлетворяющая всем условиям для функции М [Т" (х)]. Математическое ожидание времени достижения границы находится по формуле М [Г] = J J f j Го (X) р (X) dx dx dXjdxz- Совместная плотность вероятности р (х) четырехмерного центрированного нормального марковского процесса х (t) полностью определяется корреляционной матрицей /с. = М [х (t) х (t)], элементы которой находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений, матричная запись которой имеет вид RKx + KxR = SS где Rvi S - числовые матрицы размерности 4x4 и 4х 1, соответствующие записи уравнений (26.13) и (26.14) в виде X it) + Rx (t) = SI (t).
26.2.3. Кумулятивные модели. Во многих случаях в механических системах происходит монотонное ухудшение параметров качества. Это имеет место, например, при эксплуатации системы в условиях циклического нагружения, при котором происходит постепенное накопление пластических деформаций или усталостных повреждений. Случайный процесс v (t) называется кумулятивным, если для любых моментов времени ts > 4 выполняется условие lv(gil> у(У1, где lv (ОН - соответствующим образом выбранная норма вектора v (t) в пространстве качества V. Для выпуклой области Q в пространстве качества кумулятивный процесс V ()jMOHOTOHHO приближается к границе допустимой области, а вероятность безотказной работы на отрезке времени [О, t] совпадает с вероятностью пребывания в этой области в момент времени t: рц) = р {хЦ)е}. 26.2.4. Модели пуассоновского типа. Число отказов в системе на отрезке времени [О, t] образует поток событий. Если этот поток является пуассоновским, то вероятность наступления ровно k отказов f X (т) йт - Я(т)Л k=0,l,... Вероятность безотказной работы Р (t) определяется при k = 0: P{t) =ехр - f X (т) d% о (26.16) (26.17) В формулах (26.16) и (26.17) Я (t) имеет смысл интенсивности отказов. В случае когда отказы трактуются как выбросы случайного процесса из допустимой области, вероятность безотказной работы оценивается через числовые характеристики выбросов. Такие модели отказов будем называть пуассоновскими. 26.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫБРОСОВ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 26.3.1. Приближенные оценки для вероятности безотказной работы. Вероятность безотказной работы (26.2) для механической системы, в которой отказ трактуется как выброс вектора качества v (/) из допустимой области О, определяется через вероятностные характеристики выбросов векторного случайного процесса из допустимой области. Обозначим математическое ожидание числа выбросов векторного случайного процесса v (t) из области Q на отрезке времени [О, t] через (f). Будем считать, что Р (0) = 1, т. е. в начальный момент времени случайный процесс v (t) с вероятностью, равной единице, находится в допустимой области. Через Р (f) обозначим вероятность ровно k пересечений процессом v (t) предельной поверхности Г области Q в направлении внешней нормали к этой поверхности на отрезке времени [О, t]. Вероятность безотказной работы P(t) = \-2PAt). Математическое ожидание числа выбросов (t) определяется соотношением iv()-;ftp,(). Аналогичным образом вводятся моментные функции от числа выбросов Л, Л, ... (средний квадрат, средний куб и т. д.). Двухсторонние оценки для Р (t) имеют вид \Nit)P(t)\ - N(t) + YN{t). (26.18) Более узкие оценки можно получить, если рассматривать моментные функции от числа выбросов более высокого порядка, например 1---Л()4-Л()---mit)P(t)l- 12 24 12 24 Для высоконадежных систем вероятность безотказной работы вычисляется по приближенной формуле Р (О » 1 - (О- Аналогично можно получить уточненные приближенные формулы, следующие из оценок (26.18) и (26.19). Если выбросы случайного процесса v (t) из области Q образуют пуассоновский поток, для вероятности безотказной работы имеет место оценка Р (О ехр [-(01. (26.20) При этом оценки, основанные на рассмотрении моментных функций от числа выбросов, соответствуют разложению экспоненциальной оценки (26.20) в степенной ряд и удержанию соответствующего числа членов ряда. 26.3.2. Оценки, основанные на аппроксимации допустимой области. В случае когда допустимая область Q имеет сложную конфигурацию, вычисление числовых характеристик выбросов и, следовательно, оценка показателей надежности представляют значительные трудности. Тогда эффективным может оказаться подход, основанный на аппроксимации допустимой области областью, для которой вычисление характеристик выбросов осуществляется значительно проще. При этом для вероятности безотказной работы получим оценку Р (t) « Ро (t), (26.21) где Ро (t) - вероятность безотказной работы для области с предельной поверхностью Го, которая аппроксимирует область Q (рис 26.7). Для получения двусторонних оценок может быть использован метод мажорантных оценок. Согласно этому методу выбираются две области Qi и Qg, пер- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [146] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |