|
| |
|
Слаботочка Книги вая из которых целиком содержит область Q, а вторая - целиком находится внутри области О. На рис. 26.7 для двумерного пространства качества эти области выбраны в виде прямоугольников с границами и Tg. Для вероятности безотказной работы имеем двустороннюю оценку (t) < Р (О < Pi (0. (26.22) где Pi (t) и Рг (t) - оценки для вероятности безотказной работы, полученные для областей Qi и соответственно. 26.3.3. Выбросы одномерного процесса за заданный уровень. Вероятность безотказной работы Р (t) может быть оценена через характеристики выбросов случайного процесса v (t) из допустимой области Q, в частности через математическое ожидание числа выбросов {t) или через математическое ожидание числа выбросов в единицу времени К (О = dN {t)ldt. Рассмотрим вначале случай, когда v {t) - одномерный случайный процесс, а граница Г допустимой области Q есть прямая v = w, причем допустимая область лежит ниже этой прямой (рис. 26.8).
 Рис. 26.7. Пример йппроксимации допустимой области Рис. 26.8. Выброс одномерного случайного процесса Пусть V (t) - непрерывный дифференцируемый случайный процесс с заданной совместной плотностью вероятности р (v, v, t) процесса и его производной. Выбросу случайного процесса v (f) из допустимой области Q. соответствует пересечение процессом V (t) уровня w с положительной производной. Рассматривая достаточно малый интервал времени It, t + At] и вычисляя вероятность выбросов процесса v (t) на этом интервале, после перехода к пределу при At->0 получаем (26.23) Я (О = j" vp (w, V, t) dv. Когда уровень w (t) является неслучайной функцией времени, Я (t) вычисляется аналогично, с той разницей, что процесс v (t) может пересекать уровень w (f) при выполнении условия v (t)z> w (t). В результате получим K(t)= J {v~w)p {w, V, t] dv. (26.24) При вычислении интегралов (26.23) и (26.24) нужно знать совместную плотность вероятности р {v, v, t). Эту вероятность можно найти через двухточечную совместную плотность вероятности р„ {v, v случайного процесса v (t), где v- - V (i), V2 = V (tz) - значения случайного процесса в моменты времени 4 и 4- Плотность вероятности р (и, v, t) определяется после замены переменных v ~ = fl, у = (2 - v-IAt и перехода к пределу при At = t - i 0: р{v, V, t]=\\m Грр{v, V + vAt] At]. (26.25) 26.3.4. Выбросы rayccoBCKoro процесса. Двухточечная совместная плотность вероятности гауссовского случайного процесса (26.26) где a (t) - математическое ожидание процесса v (f); al (t) - его дисперсия; ai = a (ti); а = a (4); Oi = a„ {t; = a„ (4); r (4, 2) - коэффициент корреляции процесса v (t) в моменты времени 4 и 4- Заменой переменных = v, Vz = v + vAt (ti = t, tz = t + Af) no формуле (26.25) после перехода к пределу получим { 2(I-f (t>-fl)(-a) (ti-fl)" (t>-a)2 L ol Здесь a (f) и a () - математическое ожидание и дисперсия производной; р (f)- - коэффициент корреляции процесса и его производной в совпадающие моменты времени. Эти параметры определяются как: ol (О-lim = lim -i-L2a(0; (26.27) до Oi M Например, для стационарного гауссовского процесса v (t), для которого a{t) = а = const, = const, а коэффициент корреляции г (ti, 4) = е-" х X (cos At + а/р sin At), после перехода к пределу по формулам (26.27) получим: а = 0; р = 0; Oi = al (а + р). Таким образом, для стационарного гауссовского процесса формула (26.23) принимает вид Вычислив интеграл, окончательно получим я ==--ехр (w~a) (26.28) Через (Ор = о /Ор обозначена эффективная частота процесса. В случае нестационарного гауссовского процесса для вычисления интеграла (26.23) введем новую переменную интегрирования ц=(1 р2)-1/2 В результате приходим к интегралу а(1-р)/2 Я (О = -ехр 2я0„ j (M + Mo)e-«V2rfM, где обозначено «0 = (1-P)- w-a \ (26.29) Если интеграл Лапласа представить в форме Ф(ы)=(2эт)-1/2 J e-V2 dx, ТО получим окончательную формулу для математического ожидания числа выбросов в единицу времени нестационарного гауссовского процесса: [е-«§/2 +]/2я («о) 1 ехр (26.30) Отметим, что числовые характеристики случайного процесса v (t), входящие в эту формулу, являются функциями времени. В случае стационарного процесса формула (26.30) переходит в (26.28). Для уровня W (f), неслучайным образом изменяющегося во времени, математическое ожидание числа выбросов в единицу времени находится по формуле (26.24). Интеграл вычисляется аналогично тому, как это было сделано выше для нестационарного гауссовского процесса. Окончательное выражение для Я (t) будет иметь вид (26.30), если вместо (26.29) ввести обозначение 26.3.5. Выбросы стационарного рэлеевского процесса. Рэлеевский процесс V (t) определяется как случайный процесс v (t) = [х (t) + (t)] l, где х {t) и у \t) - центрированные стохастически независимые гауссовские случайные процессы с одинаковыми дисперсиями а. Одноточечная плотность вероятности рэлеевского процесса Рг(, t)=- ехр Для получения двухточечного распределения Рэлея введем четырехмерный случайный процесс {х = х (к), х = х (t, yi = у (к), Уг = У (4)}. совместная плотность вероятности которого Рху (ху, Xg, Ух, У2) = р (Xj, Х2) р (Уъ У2), а плотности вероятности р (xi, х и р (у, у) даются формулой (26.26). Вводя новые переменные х = cos б, Xg = cos 63, У1 = sin б, y = 2 2> получаем плотность вероятности X ехр pve (fl. Vz 61, Og) 2(1-n L o\ 43x2(1-r2) af a gDlDzCOS (6,- X -62) откуда с использованием свойства согласованности находим двухточечную плотность вероятности PviuV)- ехр а? Gl(l~r) где /о (х) -- функция Бесселя мнимого аргумента. Вычисление по формуле (26.25) для стационарного V (t) после перехода к пределу дает (1-/-2) [ CT? ol )\ 4l-r o,aJ рэлеевского процесса p{v, v) У2П a= exp 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 [147] 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |
||||||||||||||