|
| |
|
Слаботочка Книги При этом дисперсия процесса v (f) связана с дисперсией процессов х (f) и у (t) соотношением о? = (4 - я) а дисперсия производной а? =.(4-K)a4im l-r{t, t+At) {Atr Вычисление интеграла (26.23) не представляет затруднений. Окончательная формула имеет вид 26.3.6. Выбросы многомерного процесса из заданной области. В случае многомерного пространства качества общая схема определения числовых характеристик выбросов векторного процесса v {t) из допустимой области Q аналогична случаю одномерного пространства качества. Например, математическое ожидание числа выбросов в единицу времени находится по формуле k{f) = \dV \ p(j,,y,t)6r,dv, (26.31) Рис. 26.9. Прямоугольная допустимая область где первый интеграл берется по поверхности Г; vr (О - значение вектора v {t) на Г; и„ - нормальная к Г составляющая скорости v. 1. Выбросы многомерного гауссовского процесса из прямоугольной области. Рассмотрим вначале двумерное пространство качества, допустимая область в котором представляет собой прямоугольник со сторонами v\ - v\* и - v\* (рис. 26.9). Для стационарного двумерного гауссовского процесса v (/) совместная плотность вероятности имеет вид р (v, v) = pi (и, (иц v), где плотность вероятности р (v, определяется формулой (26.26) с параметрами Ci, Cg. fvt t/j, a плотность вероятности Pa (vi, имеет аналогичный вид с параметрами = = О, а, о, р Формула (26.31) после вычисления интегралов принимает вид Я - [Р (v*2, v\)-F {vT, vX) + F (vl, vD-F (vT, vV) + + Fivl vD-FivV, v*2) + F(vl vr)~F(vr, vT)], где обозначено P(Vj,Vu)=-£-exp "ft J Пусть область Q представляет собой 7У-мерный параллелепипед со сторонами v% - v%* (k = 1, 2,..., N), а V (f) - TV -мерный стационарный гауссовский процесс со стохастически независимыми компонентами и (t). В этом случае совместная плотность вероятности P(V, V)= П Pl(Vh)p2(Vn) применение формулы (26.31) дает =J-y ijexp + ехр 20?, (26.32) хп[фГ1-ф(-)1- Если выбросы являются редкими событиями, то приближенно можно считать, что / XI]-аj \ Последнее соотношение имеет место при выполнении условий: {v)-aj)/a„.> 1; (а~уГ)/%.» L / = 1.2,..., N. В этом случае формула (26.32) принимает более простой вид 4-ехр 20?, (26.33) Эта формула носит название формулы полосового приближения. Она может быть получена путем суммирования выбросов из полос vt* < f (О < v% (k = 1, 2,... N), для каждой из которых применима формула (26.28), обобщенная на случай выбросов из полосы:
23i0p 2. Выбросы стационарного гауссовского процесса из сферической области. Пусть V (О - N -мерный стационарный гауссовский случайный процесс с неза-висимьши центрированными компонентами и одинаковыми дисперсиями. Дисперсии компонент обозначим о, а дисперсии производных 5. Если область fi является ЛГ-мерньш шаром радиуса R, то в формуле (26.31) целесообразно перейти от переменных v, v,,..., vn к переменным f„, v, Vx, .... т ], где Vn - нормальная к сферической поверхности составляющая скорости векторного процесса v (/), а Vx - тангенциальные составляющие скорости. В результате получим Х = (2яа5)-* 202 А. n - 1 °° 2s2 / dvr X Учитывая, что vlr = R, после вычисления интегралов приходим к формуле k= 1 ,N~1 N - 1 "vHr(-f),« (26.34) Следует отметить, что задачу о выбросах многомерного процесса из сферической области можно свести к задаче о выбросах одномерного процесса за фиксированный уровень, если вместо ЛГ-мерного случайного процесса v {f) = [v (t), Vi (i), Vn (t)} рассматривать случайный процесс ф (t) = ["vliffV. Пересе- k = 1 чению векторным процессом v (t) сферической поверхности радиуса R будет соответствовать пересечение одномерным процессом ф (t) фиксированного уровня w = = R. В этом случае математическое ожидание числа выбросов в единицу времени определяется по формуле (26.23). Если V (t) - ЛГ-мерный стационарный гауссовский процесс с независимьши одинаково распределенными центрированными компонентами, то случайный процесс ф() будет также стационарным и иметь распределение х-Пирсона. Совместная плотность вероятности этого процесса и его производной р (ф, ф) ni<e)- j, 26.35) где т] (ф) - единичная функция Хевисайда. Вычисление интеграла (26.23) после подстановки в него выражения (26.35) приводит к формуле (26.34). Для приближенного вычисления характеристик выбросов из областей сложной конфигурации можно также использовать оценки, основанные на аппроксимации допустимой области. Для иллюстрации подхода, изложенного в п. 26.3.2, будем аппроксимировать сферическую область прямоугольными. Оценки (26.21) и (26.22) для стационарного процесса v (t) эквивалентны оценкам К х kg, KKi, где Яо, Я и Яг - соответственно характеристики выбросов из областей Qo, Qi и которые вычисляются по формулам (26.32) или (26.33). В двумерном случае области Qq, Qi и Qz есть квадраты со сторонами Wq = YnR, = 2R и Wi = rV2, причем область Qg взята равновеликой области Q. Вычисления по формулам (26.34) и (26.33) для R/a = 3 дают: Я = 0,0133 s/a; Яо = 0,0186 s/a; Я1 = 0,00707 s/a; Я = 0,0671 s /а. 3. Выбросы из эллиптических областей. Пусть поверхность F ограничивает ЛГ-мерный эллипсоиде полуосями Ь, Ь,..., bN, причем оси симметрии эллипсоида совпадают с координатньши осями в пространстве качества. Стационарный гауссовский процесс V {t) зададим вектором математических ожиданий а и корреляционными матрицами Ко = М [vv] и /с = М [(v - а) (v - а)]. Для этого процесса р (v, v) = р (v) Рг (v), где Pj (v) = [(2л) det /с] -1 /2 ехр Г--L (у-а)/с- (v-а) Р2 (V) = [(2п) det /Со] -1 /2 ехр f - Щ v Формулу (26.31) можно переписать в виде Я=1 Jpi(vr)r J P2(v)v„dv >0 dr. (26.36) Нормальная составляющая скорости и„ {{) на поверхности Г эллипсоида Vn(0=2«nfttft(0, (26.37) где a„ft - направляющие косинусы вектора единичной нормали к поверхности Г. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 [148] 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |