|
| |
|
Слаботочка Книги Размерность {2N -1)-кратного интеграла (26.36) можно понизить, если наряду с нормальной составляющей скорости Ui = f„ ввести взаимно-ортогональные касательные составляющие скорости на поверхности Г: Uj+i = vj = = 2 a-XjuVh (/=1,2,..., TV - 1). Переход к этим составляющим осуществляется с помощью ортогональной матрицы А, составленной из направляющих косинусов ah и Oxh единичной нормали и касательных к поверхности: U (/) = (О- (26.38) После замены переменных (26.38) внутренний 7У-кратный интеграл в (26.36) примет вид сю оо оо оо J йщ j dwg... j duN j p(ux. Us,..., UN)uidui. - СЮ -СЮ -oo 0 Этот интеграл с учетом свойства согласованности для совместной плотности вероятности р„ («1, Ыа,---, "n) равен [D {ux)/2nV/, где D (%) - дисперсия нормально распределеннойтсентрированной случайной величины и, которая на основании формулы (26.37) вычисляется через направляющие косинусы «„ вектора единичной нормали и элементы корреляционной матрицы Ко N N D("i)= S S (njannKojk-/=1А=1 В результате интеграл (26.36) удается свести к интегралу по поверхности Г: Я (2я)-1/2 fpi(vr)fi %anjanuKoikY"dr. (26.39) г \/=lfe=l / Например, в случае двумерного пространства качества формула (26.39) для выбросов из эллипса принимает вид (2л)3/2 , 2(1-р2) L (bi COS ф-Qi) 2p {biCos<p-ai){b2sin(e-ci2) j Здесь of и с - дисперсии компонент и двумерного гауссовского процесса V (i); sf и si - дисперсии скоростей а v; риг - коэффициенты корреляции между компонентами и v,, и Vz соответственно. В случае = = R, ai = = О получим формулу для математического ожидания числа выбросов в единицу времени центрированного гауссовского процесса из круговой области: (2л)3/2(, sR Г I sitf ф 5Ш2ф д собф \1/2 Г R /соБф 51П2ф , вШфУ X ехр---1--р----] I 2(1-р2) I, 02 а, as 0 I В частном случае, когда р = г = О, о = о = о, Si = Sa = 5, последняя формула совпадает с (26.34) при 7V = 2. 26.3.7. Выбросы из областей со случайной границей. Граница Г допустимой области Q может быть стохастической. Это имеет место, например, при рассмотрении множества систем, при изменении свойств системы под действием случайных факторов в процессе эксплуатации и т. д. Рассмотрим одномерное пространство качества, а допустимую область в этом пространстве зададим неравенством v (t)<i w (t), причем ограничение w (t) представляет собой случайный процесс с заданными вероятностными характеристиками. Математическое ожидание числа выбросов в единицу времени находится по формуле сю сю оо %{t)= dw dw {v-w)p,it, iw,v, w, w, t)dv. (26.40) - oo -oo jJ, При вычислении интегралов типа (26.40) целесообразно перейти к новой переменной и = v - w; тогда (26.40) примет вид оо сю сю K(f)= du dw upw{w, 4-\-w,w, w,t)dw. (26.41) О --oo -oo Если вероятностные свойства системы таковы, что случайный процесс w {t} является стохастически независимым от случайного процесса v (t), то задачу об определении К (t) можно разбить на два этапа. На первом этапе, зафиксировав значения wnw, вычисляется условное математическое ожидание числа выбросов в единицу времени К {t\w, w), которое находится методами, изложенными выше для неслучайного уровня w (i). Например, в одномерном случае при одностороннем ограничении имеем формулу типа (26.24) %(t\w,w)={v-w)pv(w,v)dv. На втором этапе для определения безусловной характеристики выбросов применяется формула полной вероятности оо оо Я(0= 5 K(t\w,w)p{w,w,t)dwdw. (26.42) - сю -оо Формулы (26.40) и (26.42) для стохастически независимых процессов, v (f) и W (t) совпадают, однако с практической точки зрения предпочтительнее применение (26.40) или (26.41). Действительно, характеристика выбросов X (t\w, w) выражается, как правило, через специальные функции (см., например, (26.30)), в результате чего применение формулы (26.42) приводит к интегралам, не выражающимся ни через элементарные, ни через специальные функции. Формула (26.41) позволяет во многих случаях получить окончательные аналитические выражения для к (t). 1. Выбросы нестационарного гауссовского процесса за нестационарный гауссовский уровень. Будем считать, что процессы v (t) и w (t) стохастически независимы. Непосредственное применение формулы (26.41) дает после довольно громоздких вычислений X(О = "7" к-< + V2u,Ф(щ)] ехр {oy-aw? (2еЛЗ) где Ф (и) - функция Лапласа. Кроме того, введены обозначения: a = al + al; 5 = 0? +а1; р-=(РвО„о- +р„о„оJ/sc; (26.44) „j == (1 -р2)-1/2 р j. Параметры (t), (t) и р (t) представляют собой соответственно дисперсию разности процессов и (t) = v (t) - w (t), дисперсию разности производных и {f)= = V (t) - w (t) и коэффициент корреляции процесса и (t) и его производной и (t) в совпадающие моменты времени. Формула (26.43) по внешнему виду совпадает с (26.30). Отсюда вытекает другой способ вычисления характеристик выбросов случайного процесса за случайный уровень: достаточно рассмотреть выбросы вспомогательного процесса и {t)= = V (t) - w (t) за неслучайный нулевой уровень. Так как распределение разности двух гауссовских пpoцeccoвJбyдeт также гауссовским, то применение формулы (26.23) при 1« = О, естественно, приводит к формуле (26.30), которая после замены параметров о„, о , а, аир на соответствующие параметры (26.44) для вспомогательного процесса и (t) переходит в формулу (26.43). Этот результат является следствием устойч,й5ости нормального распределения по отношению к линейным преобразованиям. Однако этот способ не приводит к существенным облегчениям для процессов v (t) и w (t), распределения которых отличаются от нормальных. Применение формулы (26.23) в этом случае ограничено сложностью нахождения совместной плотности вероятности р (и, и, 1). 2. Выбросы стационарного гауссовского процесса за уровень, распределенный по закону Рэлея. Предполагается, что уровень w не меняется во времени. В этом случае получим Я = + УЪЩ Ф Ы] ехр ( . 23X02 где использованы обозначения о = о -f о?, «а = «„о/ОрО; параметр о характеризует распределение Рэлея и связан с дисперсией о соотношением = = а! (2 - л/2) = 0.43 of. 3. Выбросы стационарного рэлеевского процесса за гауссовский уровень. Если уровень w не меняется во времени, то формула (26.41) принимает вид оо оо k{t)dv J vp„(w, v)pj{w)dw. Для распределения Рэлея р„ {v, v) с параметрами Оц и нормального распределения для W с параметрами и а„ получим 2зха 3 \ зл F 2., j Здесь обозначено: - aj„ajaa; о = of + oi,. 4. Выбросы многомерного гауссовского процесса из сферической области со случайным радиусом. Как отмечалось выше, задачу о выбросах многомерного процесса из сферической области можно свести к задаче о выбросах одномерного процесса. Рассмотрим ЛГ-мерный стационарный гауссовский процесс с независимыми одинаково распределенными центрированньши компонентами. В этом случае модуль радиуса-вектора распределен по закону -Пирсона с совместной плот- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 [149] 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |