|
| |
|
Слаботочка Книги ностью вероятности (26.35). Пусть радиус сферы, ограничивающей допустимую область распределен по закону Рэлея с параметром а. В этом случае будем иметь 0„0.<T-ir[(yv+l)/2] VS(<g+o!) Г(Л/2) где а„ и oj, - параметры распределения (26.35). 5. Выбросы стационарного гауссовского процесса за уровень, распределенный по закону Вейбулла-Гнеденко. Пусть уровень w является случайной величиной, имеющей распределение Вейбулла-Гнеденко. Pw () = а сда"-1 т] (w) ехр (- сш") с параметрами а и с. При этом К определяется через интеграл, который в общем случае не выражается через табличные: j„«-iexpr-iZ-a-„a Глава 27 МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ С ВОССТАНОВЛЕНИЕМ 27.1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 27. Ы. Предварительные замечания. В теории надежности наиболее трудные аналитические задачи возникают при анализе надежности восстанавливаемых систем. Модели восстанавливаемых систем являются по существу моделями теории массового обслуживания, в которых роль входящего потока требований играет поток отказов элементов, возникающих в системе, а обслуживание состоит в восстановлении этих элементов. Поэтому при анализе восстанавливаемых систем мы можем использовать разработанные к настоящему времени методы теории массового обслуживания. Однако модели восстанавливаемых систем имеют специфические особенности. Для большинства восстанавливаемых систем среднее время восстановления элементов во много раз меньше среднего времени мекду соседними отказами элементов в системе. Это обстоятельство позволяет использовать для оценки надежности системы асимптотические методы. 27.1.2. Основные характеристики надежности восстанавливаемых систеи. Пусть поведение восстанавливаемой системы задается некоторым случайным процессом я15 (/) в фазовом пространстве Е. Предположим, что все множество состояний процесса Е можно разбить, используя некоторый критерий отказа, на два непересекающихся подмножества: - подмножество состояний работоспособности, Е~ - подмножество состояний отказа системы. Обозначим через 1 и т], /г = О, 1, 2, последовательные случайные интервалы работоспособного и соответственно неисправного состояния системы (мы предполагаем, что в начальный момент система исправна). Обозначим через время от момента до первого попадания процесса в множество Е-. Если процесс [t) - эргодический, то Ik-l; 4,-4, It-l* На практике чаще всего используются следующие величины: случайная наработка до первого отказа 1о. время пребывания системы в стационарном режиме в состояниях работоспособности и отказа и т] и случайное время от данного мо- мента до первого попадания в состояние отказа I*, а также их математические ожидания Т = Мо, Т = М, т = Мт], Т* = М* и коэффициент готовности К=-Т{Т + х)-\ 27.1.3. Описание двух моделей восстанавливаемых систем. 1. Общая модель резервирования с восстановлением. Пусть в ремонтный орган, состоящий из г обслуживающих приборов и бесконечного числа мест для ожидания, поступает поток отказавших элементов, определенный следующим условием: если в ремонтном органе в момент t находится к элементов на восстановлении, то вероятность поступления требования на участке (t, t + At) равна KAt + о (At) и не зависит от поведения процесса до момента t. Предположим, что время восстановления любого элемента любым обслуживающим прибором распределено произвольно с функцией распределения G(О- Отказавшие элементы восстанавливаются в порядке поступления, и времена их восстановления независимы. Пусть £+ = {О, 1, ...,«},£ = {п + 1, я + 2,...}, т. е. отказ системы - это переход процесса обслуживания из состояния я в состояние я-f 1. Эту модель мы обозначим (Я, G, г, я). Она включает в себя все стандартные модели резервирования с восстановлением при экспоненциальном распределении нараббтки каждого элемента системы, занимающего определенную (основную или резервную) позицию. Например, для восстанавливаемой резервированной системы, состоящей из т основных и я резервных элементов, из которых я находятся в нагруженном режиме. Яг - в облегченном и я., - в ненагруженном, можно записать: kk при о -km--nx, {т + Пх)-- (k-m-n) при m + tti + l Кк<:т+Пх + п2, k{tn+ni) + kпри m-f я-Яз-1-1 <fe<m-f п, О при m -f - я -f 1, где К - интенсивность отказа элемента в облегченном режиме. В приведенном выше случае предполагается, что при отказе одного из основных элементов на его место подключается элемент из резерва с максимальньш индексом. Это можно трактовать так: на место отказавшего основного подключается нагруженный резервный элемент, если такой имеется в наличии, на его место подключается элемент из облегченного резерва, если такой имеется, и т. д. Восстановленный элемент возвращается в систему в обратном порядке, т. е. в первую очередь укомплектовывается резерв с минимальным индексом, если в системе имеется т исправных основных элементов. 2. Модель сложной восстанавливаемой системы. Рассмотрим систему, состоящую из я элементов. После отказа каждый элемент мгновенно поступает в ремонтный орган, состоящий из нескольких обслуживающих приборов. По окончании восстановления элемент мгновенно возвращается на свое место в системе. Состояние системы в момент t задается двоичным вектором е ( = (вг (t), eit), ... • е„ (t)), где . f О, если i-й элемент работоспособен в момент t, [ 1 в противном случае. Пусть в момент t процесс е (t) находится в состоянии е. Тогда вероятность отказа t-ro элемента на интервале (t, t-\- At) равна Kt (е) At + о (At) и не зависит от прошлого поведения процесса е (t). Обозначим Я(е)=2?Ле). (Если для системы е элемент i находится в состоянии отказа, то полагаем kt (е)= = 0). Предположим, что i-й отказавший элемент поступающий на /-ю ремонтную единицу, имеет функцию распределения времени восстановления Gtj (/). Дисциплина обслуживания может быть произвольной, но выполняются следующие ограничения: а) восстановление элемента не прерывается при поступлении других отказов; б) если отказавший элемент поступает в ремонтный орган, в котором есть свободные обслуживающие приборы, он мгновенно начинает восстанавливаться. Определенную таким образом модель сложной восстанавливаемой системы обозначим {ki (е), Gy, £+). 27.2. МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ 27.2.1. Марковский процесс общего вида. Предположим, что эргодический процесс яр (t), описывающий поведение сложной восстанавливаемой системы, является марковским однородным процессом с конечным (или счетным) числом состояний, которые обозначим Е = {О, 1, 2, ...}. Пусть Л = lljll - матрица интенсивностей переходов. Для вычисления основных показателей надежности достаточно уметь находить следующие характеристики: а) стационарные вероятности Pi--l\mP{{t) = i}, i = 0, 1,...; б) время перехода из состояния / в множество А е, (Л) = inf {t:it)eA К (0) = i ё Л}; в) вероятность того, что в момент перехода в множество Л в стационарном режиме мы попадаем в состояние i, Ui (Л) lim P{\p(t + 0)=i£A (/.-0) А}. Эти величины находятся стандартными приемами, и мы просто выпишем для них соответствующие уравнения или выражения. Стационарные вероятности определяются из системы уравнений: 1=0 i=0 Преобразования Лапласа времен перехода 6 (Л) для i 6 А находятся из системы уравнений гф, (Z, А) = ki (Л) + S 4>j Л), (27.1) где Фг (Z, Л) = Ме"®»; (Л) = S hj\ Л - дополнительное к Л мно-жество. Вероятности nt (Л) легко находятся в явном виде: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 [150] 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |