Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 [151] 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Черее эти величины выражаются основные характеристики надежности Ig, I, т], I* и их средние:

Ме-б.Ме"г<->; Ме-б= 2 лг(£+)Ме-<->;

Ме--б*= 2- PiMe-i-.

Заметим, что, если число состояний процесса конечно, все выведенные выше пре-образованиЛапласа будут рациональными дробями и поэтому легко обращаются. Средние значения находятся из преобразования Лапласа дифференцированием в нуле.

Пусть Ti (А) = М 6; (А); тогда из (27.1) для i 6 А получаем

01+%isTj(A);

ToTiiE-); Т*= S PiTiiE-). .

27.2.2. Процесс гибели и размножения. Процессом гибели и размножения называется марковский процесс с конечным или счетным числом состояний О, 1, 2,...

для которого Яг,г+1 = Ki, = рь ро = О, Kij = О при /- i > 1,

т. е. мгновенные скачки процесса могут быть только в соседние состояния.

Процесс гибели и размножения будет эргодическим тогда, и только тогда, когда:

1 HiMs--- № А = 1 о i • •

в этом случае стационарные вероятности находятся в явном виде:

„ КК - k-i „

Ph --Ро-

Пусть Qij - время перехода из состояния i в /:

е,,- = inf {t :{t) = т (0) = i}.

Из марковости процесса следует, что = 6 j+i + ... + j-i,- j,

при /> i, Qij = + ... + 6f4.i J- при /<: i, причем слагаемые в правых

частях независимы.

Распределение величины 6 легко находится из системы (27.1) при А = = {k,k+ 1, ...}:

Ме-% = 1/А(г), где многочлены (г) определяются из рекуррентного уравнения

А,+1 (z) = h+ А, (г) - А,-1 (г),

А 1(г)0, Ао(г) = 1.

Многочлены (z) обладают следующими свойствами: 1) все корни (z) - отрицательны и различны; 2) корни соседних многочленов А (z) и A+i (z) - чередуются, т. е. между двумя соседними корнями многочлена Д+1 (г) лежит один корень многочлена Д (z).

Эти свойства позволяют легко (особенно с помощью ЭВМ) вычислить корни многочлена А (z).

При i <Z j получаем

lAe~iJAi(z)/Aj(z).

Легко найти также

А-1 J S

где Ьо= и bk = ЯЛ .. Kk-i (li 12 •• lft)"-Тогда при i < /:

TijMBijToj-Tgi; ?o = 6o.n+i;

27.2.3. Предельные теоремы для случайных величин с рациональным преобразованием Лапласа. Если система, описываемая марковским процессом яр (t), достаточна надежна, т. е. процесс яр (t) «редко» попадает в множество то величины о. ?. ?* асимптотически распределены по экспоненциальному закону. Ниже приводятся условия, при которых распределение случайных величин с рациональным преобразованием Лапласа сходится к экспоненциальному.

Введем следующие классы неотрицательных случайных величин:

Z„ = je: Ме--е Д (i +a„z)-\ Мб = lj; Zi = {e:Me--e (l+z-fa2z2-f...-fa„z«)-i};

е:Ме--е У+Ь+.-.+Ьг а ЬЛ

Пусть 00 - случайная величина с экспоненциальньш распределением Р {00 >х} = е-\

Под сходимостью 0 -> 00 будем понимать сходимость функций распределения. Справедливы следующие утверждения.

1. Если 6 6 Zo и Сг < 1/4, то

P{0>4 e-Kl:=li (27.2)

причем = 1 - Ме.

2. Если в 6 Zi, то из условия Cg О следует 0 -> 0о и при этом для всех л; > О

Р{0 >х)~ е- < сУо, с < 10.

3. Если в 6 Zg и п фиксировано, то из условий Ь--О и Cg < О следует 0 -> -> во.

Покажем, как можно применять эти утверждения.

1. Для процесса «гибели и размножения» преобразование Лапласа для распределения времени до отказа во, „+i определяется равенством

Ме-«о,п+1(Д(2))-1.

Все корни А„+1 (г) действительны и отрицательны, т. е. нормированная случайная величина д, n+i/-o,n+i и ее асимптотическое распределение можно найти по формуле (27.2). В этом случае

= То.и 1 2 (kЬи)- 2 h Tos-

k=l s=l

Для распределения времени работы между отказами 1 = n.n+i преобразование Лапласа имеет вид

Me-n."+i-A„(2)/An+i(z). (27.3)

Обозначим коэффициенты многочлена А (z) = 1 -f Ai г + •.+ Аь z*- Тогда по утверждению 3 для сходимости распределения нормированной случайной величины 0„ п+1 (М Э„, „+i)~" к экспоненциальному распределению требуется выполнение условий:

-=--.0; а, = -0. (27.4)

Условия сходимости к экспоненциальному распределению случайных величин flft = 6n+i, о легко находятся из (27.3) переходом к сопряженному процессу. Для сходимости распределения нормированной случайной величины * к

экспоненциальному требуется выполнение условия (27.4) и условия S Pft О

(здесь - стационарные вероятности).

2. Рассмотрим процесс гибели и размножения с параметрами Я = Я; Pft=p при fe > О, р = ?ip-i. Такой процесс описьгоает поведение резервной группы с одним основным и п резервными элементами, находящимися в ненагруженном резерве. Величина 0о, n+i есть время до первого отказа резервной группы при условии, что в начальный момент все элементы были исправны. Нетрудно подсчитать, что

(„ .)+(„-.2)р+ ("+И"+) р»-(п-1)(п-2)р"+Чр"--

а =---.-р".

[1-(п+1)р«+«р" + Р

Отсюда можно получить асимптотически точное неравенство < пр". Подставляя это неравенство в правую часть (27.2), получаем точную оценку распределения наработки до первого отказа:

- е-

l ]/"l-4np" l -/l 4„p«

27.3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ И НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РЕГЕНЕРИРУЮЩИХ

ПРОЦЕССОВ

27.3.1. Постановка задачи и точные формулы. Пусть: (t) - регенерирующий процесс; = О <; <; ... < 4 *< - последовательные моменты регенерации; Qn = in - 4-1 - длина п-го периода регенерации.

Предположим, что на каждом п-м периоде регенерации в некоторый момент tn-i -f О < х„ < 0„, может произойти событие Л„ (например, отказ системы), причем распределение величины к„ и вероятность события Л„ не зависят от номера п и от поведения процесса вне п-го периода регенерации.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 [151] 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199