|
| |
|
Слаботочка Книги 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 [152] 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 5Cn Пусть - момент первого наступления события Л„ (первого отказа системы). Введем обозначения: q = Р{АпУ, %п - индикатор события Л„, т. е. 1, если An происходит, О в противном случае; in = %n>hi + (1 - 5Cn) е; ф- (z) = yWe~" Xn; Ф+ (z) = Ме"п (1 ф (2) = ф (г) + ф. (z). Преобразование Лапласа для распределения величины go имеет вид Ме-5о = [ф (z)l/[l ф (Z)], а математическое ожидание Mgo = Мф/. (Там, где это несущественно, мы опускаем индексы у s„, Хп, m 6„). Функции ф (z) и ф+ (z) явно вычисляются только для простых процессов. Если вероятность отказа системы на одном периоде регенерации q мала, то можно получить приближенные формулы для характеристик надежности системы, исследуя асимптотическое поведение случайной величины 1о при q 0. 27.3.2. Предельные теоремы. Для любой случайной величины в введем функционал а (6) (Ме)-1 j (1 - е-) Р {6 > х} dx. о Справедливы следующие утверждения: 1) lirnP
i=e- 2) limPJ. 3) limP- 4) limPJ. >х X (ме)2 - е- -0 = ( 27.3.3. Регенерирующий процесс специального типа. Рассмотрим регенерирующий процесс яр (О, у которого периоды регенерации состоят из двух частей: „ и Цп, причем первая часть „ (работоспособное состояние всех элементов системы) имеет показательное распределение Р{„ > х} = е--, а вторая (состояние, при котором восстанавливается хотя бы один элемент системы) - произвольное распределение со средним Тд = Мт]й. Предположим далее, что событие Л„ (отказ системы) может появиться только на второй части периода. Обозначим через т]й момент наступления отказа, отсчитываемый от начала второй части, и предположим, что событие An и величина Цп не зависят от номера п и от поведения процесса вне второй части п-го периода регенерации. Пусть Хп - индикатор события Л„. Введем обозначения: т]„ =т] (1 - Xn)+ + ПпХп. где - длина второй части периода регенерации при условии, что событие An не произошло; q = Р{Л„}; т = Мт); 1 - момент первого наступления события Л. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) lim Р {?u7go > x\lr 0} = е-; lim Р {%qlo > x\kto 0} = е-; 3) для всех t >0 справедливо неравенство 4) для всех t >0 справедливо неравенство Р {go > О < (1+А-) е-(1, где А+ = (1 -9) д- (Ме"" - 1) < о- Д + Ме"-1< оо. Примечание Величины А и А+ выражаются довольно сложно, однако в большинстве практических случаев можно считать А+ < Ят,, и А < Ято; и тогда 27.3.4. Оценка вероятности д. Для того чтобы применять приведенные выше оценки, надо вычислить или оценить величину д - вероятность наступления отказа системы на одном периоде регенерации. Для одного важного класса процессов яр (/), который, в частности, включает в себя процессы для моделей (к, G, г, п) и [ki (е), Сц, Е+], можно получить двустороннюю и весьма точную оценку вероятности q, когда q мало. Рассмотрим в процесс яр (f) с конечным (или счетным) числом состояний, которые обозначим Е= {О, 1, 2,...}, и предположим, что это множество частично упорядочено, причем О является единственным минимальным состоянием и Э 6 £+• Эту упорядоченность обозначим i <: /. Назовем яр (f) «марковским вверх» процессом, если он удовлетворяет условиям: f 1) для любых i < j р (t + h) = т (О = о п (яр (X) = / (X)), X < о = = Р {яр (/ + /г) = /яр (О = i} = hjh + О (h); 2) для любого i 6 Е выполняется 0<: kij = ki <z оо; 3) назовем свободным периодом интервал, где яр (/) = О, и периодом занятости - интервал, где яр (f) > 0. Тогда для любых i и /, Г> /, вероятность Р{яр (t+h) = /I (яр (О = i) П (-Ф (X) = / (X)), X < О зависит только от поведения процесса на последнем периоде занятости, на который попал момент /. Этот процесс является регенерирующим процессом специального типа. Пусть событие А есть попадание процесса яр (i) в множество Е- (отказы системы), а q - вероятность появления события А на одном периоде регенерации. Назовем монотонным путем я = {О, Il, t2> im}; возрастающую последовательность проходимых процессом состояний от начала периода занятости до первого попадания в множество £ . Пусть q (т) есть вероятность наступления события А по заданному монотонному пути. Тогда (?о = 2(7 (я), где сумма берется по всем монотонным путям, есть вероятность наступления события А по монотонному пути. Предположим также, что процесс яр (f) - эргодический, и обозначим через Pi стационарные вероятности: р..-liraР{яр(0=0- Тогда имеет место следующее утверждение: Применение этих предельных теорем и неравенств будет дано ниже, а сейчас мы ограничимся простыми примерами. Пример 27.1. Рассмотрим систему из двух элементов - рабочего и резервного, находящегося в ненагруженном резерве. При отказе рабочего элемента на его место становится и мгновенно включается в работу резервный элемент, а отказав-щий рабочий элемент идет в ремонт, после окончания которого становится в резерв. В свою очередь, резервный элемент, ставший на рабочее место, после отказа идет на ремонт, а на его место становится элемент из резерва и т. д. Предполагается, что восстановление полное. Пусть F (t) = Р {<: t} - функция распределения времени безотказной работы каждого элемента, а G (/) = Р {т) < О - функция распределения времени ремонта каждого элемента. Система отказывает тогда, когда неисправны оба элемента. Требуется записать приближенное выражение для вероятности безотказной работы. Решение. Процесс % (t), равный числу неисправных элементов в момент t, будет регенерирующим (если исключить первый период работы элемента). Моменты регенерации -• это моменты отказа одного элемента, в которые подключается в работу другой элемент. Если [М/(М)] 9 О, то справедливо асимптотическое равенство PiUt}-", где 9 = f G Ix) dF (х); Т = f xdF (х) = Щ = Тд. Пример 27.2. Изменим предыдущую модель, предположив, что наработка на отказ основного элемента имеет экспоненциальное распределение с параметром К, а резервный элемент тоже может отказывать с интенсивностью Я <; К. Требуется записать приближенное выражение для вероятности безотказной работы. Решение. Процесс яр (tj - это число неисправных элементов в момент /, а точки регенерации - это моменты, когда оба элемента становятся исправными. У этого регенерирующего процесса специального вида первая часть периода регенерации имеет показательное распределение с параметром к + к. Как следует из п. 27.3.3, если (к + к) То = (к + к) JG (t) dt < О, то справедлива асимпто- тическая формула Р {h>>t} ехр {- (к + к) qt), где 9 = "f (1 - e-W) dG (t) к To. Тогда окончательно при кТ <с 1 справедлива приближенная формула Р {1о > О ехр {- (к + к) кТо t}. 27.4. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ РЕЗЕРВИРОВАНИЯ С ВОССТАНОВЛЕНИЕМ 27.4.1. Предельные теоремы. Для системы (Я, G, г, п) справедливы следующие утверждения: 1) Иш Р {?1о9?о >х\кТ-0} = е-\ где q - вероятность отказа системы (переход п- п + 1) на одном периоде занятости; 2) если к lmn+i/ml] О, где /п = f л;* dG (х), то оо Г °° I - - qkiк... к Г Г G (О dt dx; (27.5) J (п-г)! J (-1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 [152] 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |