Слаботочка.

Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 [153] 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

3) если Я [nin+i/trq] -> О, то

lim Р{А1о >х} = е-,

где Л = AoQ и q определено по формуле (27.5). Отметим важные частные случаи:

г = 1, тогда Л = k(...XjimJn\;

г = п, тогда Л = koki...kntn1;/n[.

В этом случае имеет место асимптотическая инвариантность - предельное распределение 1о не зависит от вида распределения G (х).

Для функции распределения Р{о > t} найдены двусторонние оценки:

г = f xdG (х) -т; % = max Я.

Наибольшую трудность представляет оценка вероятности q. Асимптотически точную оценку удается получить только для крайних случаев г = 1 и г = п. Для них справедливы утверждения:

4) для системы 1%, G, п, п]

9(x)=fG(0d/; о

5) для системы [К, G, 1, п]

Яо <д < QoAn-i ii), qo = .f Pm (0 dG (f),

oo .

где 7 = я J e""-* G (x) dx, К = max k, Я = min Я; рщ (О - вероятность пере-хода процесса чистой гибели с параметрами Я за время t из состояния 1 в состоя-

ние, большее п; An-i (у) = 2 ( + 1)""

27.4.2. Оценка послеотказовых характеристик надежности. Приведенные выше результаты дают асимптотические и двусторонние оценки распределения времени до первого отказа в модели (Я, G, г, п). Однако в теории надежности часто используются и послеотказовые характеристики иц> а также их средние Тит. Для этих величин в обозначениях теорем 9 и 10 справедливы следующие утверждения:

1) если Xi, п, г фиксированы, а rUnJirfl О, то Р{Ай>х} е-*, где А определено в п. 27АЛ;

2) если G (х), г, п, kl фиксированы, а =) Яе, то при е -> О равномерно по номеру k

Рк{ц>х}-

ф- (/)--dt

где ф (О = f G (х) dx.

27.4.3. Произвольное распределение наработки на отказ. Выше мы предполагали, что суммарная интенсивность отказа элементов Я постоянна и зависит только от числа отказавших элементов. Это предположение означает, что при фиксированном п наработка на отказ имеет экспоненциальное распределение. Если сам элемент является достаточно сложной системой, ремонт которой состоит в замене отказавшей детали новой, то в силу предельной теоремы Хинчина наработку элемента можно считать распределенной экспоненциально. Однако если элемент достаточно прост и с течением времени в целом быстро стареет, то предположение о показательном характере отказов элементов может привести к существенному искажению характеристик надежности.

Рассмотрим следующую модель ненагруженного резервирования с восстановлением: имеется один основной элемент, п элементов в ненагруженном резерве, г ремонтных единиц, F (t) = Р{I <: t} - функция распределения наработки элемента, G (/) = Р {т] < 4 - функция распределения времени восстановления элемента. Предполагается, что восстановление полное, т. е. после каждого ремонта элемент приходит в исходное состояние. Система отказывает тогда, когда отказывают все п Ч- 1 элементов.

Пусть: cxft = Р {Т1 > li + ..Ч- Ift}; Р{<х} == G (х); Р {i < х} = F (х);

величины независимы; а = Тогда справедливы следующие результаты:

1) если г и п фиксированы, а F и G меняются так, что: а) а„ > 0; б) а -> 0; в) существуют > О и ро > О, такие, что 7? {т) <; (1 - e) ?} > ро, то

(27.6)

где 1° - время до первого отказа системы;

2) если г = 1, п фиксировано, а F и Сменяются так, что: а) 0; б) «1 > 0; в) существуют 8 > О и ро>0, такие, что Р{т] < (1 - бо} > ро, то справедливо (27.6);

3) если г = п фиксировано,, а распределения F и G меняются так, что: й) «т > 0; б) а О, то справедливо (27.6);

4) если F (0) = Я > О, G (х) = Go (х/г), числа г и п и функции F (х) и Go (х)

фиксированы и существует конечный момент т„+х = J х"* dGo (х), = Т,

то при 8 -V О

(М?о)-=- ? Ф- (х) dx,

М J (п-г)Г (г-1)1

где ф(л;) = f[l - Go (х)] dx.

27.4.4. Некоторые результаты для нестационарной модели резервирования с восстановлением. Когда сам элемент является сложным устройством и ремонт элемента состоит в замене отказавшей в нем детали, поток отказов элемента (рассматриваемый на оси чистой наработки элемента, когда исключено время восстановления) можно считать пуассоновским.

Однако если в элементе много составных частей, среднее время жизни которых сравнимо, а чаще и значительно больше, чем среднее время жизни всей ре- -зервной группы, то поток отказов элемента будет суперпозицией процессов восстановления, которые на интересующем нас участке времени заведомо не войдут в стационарный режим. В этом случае верна уже не теорема Хинчина для суперпозиции стационарных потоков, а теорема Григелиониса, согласно которой поток отказов элемента будет асимптотически пуассоновским потоком с переменным параметром. Существенно, что этот параметр меняется со временем медленно: на участке между соседними отказами элемента его можно считать постоянным. В этой ситуации, видимо, должен быть верен следующий результат.

Пусть в модели [к, G, г, п] к = kj, (t) зависят от времени и медленно меняются со временем. Тогда вероятность безотказной работы системы асимптотически равна

- J л (л:) dx

Л(X) (х)...К (X) ] £ (О -bif dt.

Ф(0 =j[l-G(x)]dx.

27.5. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ СЛОЖНОЙ ВОССТАНАВЛИВАЕМОЙ СИСТЕМЫ

27.5.1. Предварительные замечания. Рассмотрим модель сложной восстанавливаемой системы [ki (е), Оц, Е+]. Заметим, что процесс е (t) является регенерирующим процессом специального типа, а также «марковским вверх» процессом.

Обозначим через е (i) состояние, отличающиеся от е только тем, что в нем на i-M месте стоит 1, т. е. е (i) получается из е при отказе i-ro элемента. Назовем состояние е 6 £+ граничным, если существует такое i, что е (i) 6 Е-. Пусть Г+ - множество граничных состояний. Монотонным путем п назовем последовательность состояний 0<:е<< ...-< где е<*) 6£ + . k<Zs, е<) б-. которые проходит процесс от начала периода занятости до первого отказа на этом периоде занятости. Число s назовем длиной пути. Предположим, что при переходе из состояния е<*1 в состояние e(*+i) отказывает элемент с номером i, т. е.

Назовем монотонный путь допустимым, если

ktAO)kcAe)..\ Je-))>0.

Пусть т = min s, где минимум берется повеем монотонным допустимым путям (число т называют иногда минимальньш сечением системы). Монотонный допустимый путь назовем минимальным, если его длина равна т; По-множество монотонных допустимых минимальных путей. Обозначим q (я) вероятность отказа системы по монотонному допустимому минимальному пути я и пусть, на-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 [153] 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199