|
| |
|
Слаботочка Книги Неотрицательные случайные величины е„, п > 1; Bq = О определяют интервалы между изменениями состояний системы, имеющие функции распределения (О = Q (t, X, Е) = Р{%п1 < t\Kn = X. Так что %п+1 определяет время пребывания системы в состоянии х„. Времена пребывания в состояниях х„ = х удобно обозначать с« (О = P{Q.< t). Обозначим через т„ моменты восстановлений: т„ = 2 6, а через v == =тах {п : т„ < - число восстановлений к моменту t. Тогда ПМВ (х„, е„, п>0) задает полумарковский процесс (ПМП) X (О = Xv«) в фазовом пространстве состояний (£, S), который описывает функционирование стохастической системы. В частности, когда полумарковское ядро имеет вид Q {t, х,А) = Р {X, А) (1 - е-М-Х), соответствующий ПМП является однородным марковским процессом, у которого времена пребывания в состояниях распределены экспоненциально с параметром к (х) > 0. 28.3.3. Описание функционирования стохастических систем. Функционирование стохастических систем, состоящих из независимо работающих элементов, каждый из которых описывается ПМВ, моделируется суперпозицией ПМВ. Пусть задано конечное число независимых ПМВ {xi\ e)j, n >0}, г = Ь Л, в дискретных фазовых пространствах E-> с полумарковскими матрицами Q<> (О = {Qk) (t), k, г е £<)}, i=l,...,N. Определим линейчатые компоненты VC") (О = inf {v > t: х(" (и) ф х<) (0} - t, которые называются перескоками и определяют время, оставшееся после момента t до следующего ближайшего момента восстановления. Введем: y(t)=. min v<")(); (28.1) (0 (t) = yd) (t) у (t), i=l, N. (28.2) Моменты восстановления т„, n > 1, суперпозиции ПМВ определяются соотношением Т(гп -0) = 0, п>1. Все моменты восстановления Гп\ п > I, i = I, N, составляют суперпозицию ПМВ, и только они являются моментами восстановления т„. Введем теперь полумарковские компоненты Ц, = V<" (п) - у (Тп), п > О, / = 1, N (28.3) и времена пребывания суперпозиции ПМВ 6п+1 = V (Тп). п > 0. Суперпозицией независимых ПМВ {кЦК 6<>, п > 0}, i = 1, Л, называется ПМВ g„, е„, п > 1} с компонентами в дискретно-непрерывном фазовом пространстве состояний. Из определения у (f), in и 6„ следует, что 6п+1 - "n+l - 1п- Для задания полумарковского ядра суперпозиции проще всего воспользоваться формулой для времен пребывания в состояниях на п-м шаге в виде Kk,...kjx.x,...xj=m\n (ем-), х), X = minXj. (28.4) Индекс p определяется соотношением = Хц = 0. Справедливость формулы (28.4) проще всего установить, используя содержательное определение времени пребьшания бкх в состоянии кх= кг.-.к xXz-.-Xn. Пз (28.1)-(28.3) следует, что в каждом состоянии одна из компонент = О, при этом т„ = т. е. в этом состоянии происходит восстановление в р-м ПМВ. Ненулевые компоненты 1,Ц> фиксируют время после момента т* до ближайшего момента восстановления в ркх „от. рки Рис. 28.4. Суперпозиция ПМВ 1-ш ПМВ. Так что, если <*"> == х > О, / р, в момент т„ и S<f-> = О, то следующий момент восстановления т. определяется минимумом Х{, i ф [i, и случайным временем пребывания в р-м ПМВ, что и зафиксировано-равенством (28.4). Для удобства дальнейшей записи формул введем следующую формулу кодирования состояний: ркх - означает код состояния кк-.-кк хх.... Xw с Хд == 0. Возможны переходы ВЦМ {х„, п > 1} двух типов (рис. 28.4): 1. Переход из состояния ркх в состояние Iky при I Ф ц в условиях: Xj=x = minxj; ydy; Ы =ki, У1= XiX, 1ф. . (Запись i/ji £ dy означает, что у принадлежит окрестности точки у.у <,y<i < У + Ф-) 2. Переход из состояния ркх в состояния рку в условиях: Xi = x = vi\mxi\ yidy\ ki=ki, 1ф\ yiXi- X Л- dy, i Ф\1, I. Вероятности перехода ВЦМ п > 1} вычисляются по формулам: pl=PUb=k;„ %f\x-dy хГ=М=рП orUx-dy). ВЦМ суперпозиция ПМВ имеет стационарное распределение (в условиях эргодичности ВЦМ компонент {x<J п > 0}, \i = I, N), плотности которого выражаются формулой . p(txkx)=p„npin (28-5) где {pi., ki G - стационарные распределения ВЦМ {х>, п > 0}, i = 1, Л, составляющих суперпозицию ПМВ; Gi {Xj)= 1 - (Aj (Xj). Нормирующая константа Ро определяется соотношением Ро = 2 2 Пр?Пме1 И=1 (г) «=1 ММ- Распределения времен пребывания в состояниях имеют вид GiUt), t<:x. Gi,kK(t)=P{Qp.k<t} = 1, tx. Здесь X определяется соотношением (28.4). Наконец, полумарковское ядро суперпозиции конечного числа независимых ПМВ определяется из следующих соображений. При переходе из состояния рку в состояние /ку, 1ф \к, время пребывания в состоянии ркх равно х. А при переходе из ркх в гку время пребывания в состоянии ркх равно х - у (см. рис. 28.4). Иначе говоря, на переходах ВЦМ времена пребывания в состояниях - детерминированные величины. Наличие стационарного распределения (28.5) суперпозиции ПМВ дает возможность применять алгоритмы фазового укрупнения (АФУ) для упрощенного анализа многокомпонентных полумарковских систем. 28.3.4. Алгоритм фазового укрупнения. Основная трудность при моделировании и анализе стохастических систем посредством ПМВ проявляется в существенном усложнении фазового пространства состояний полумарконской модели. Наиболее радикальный подход к преодолению сложности анализа реальных систем состоит в построении более простых (укрупненных) моделей, анализ которых существенно проще анализа исходных математических моделей, а основные характеристики укрупненных моделей могут быть использованы в качестве характеристик исходных моделей. Алгоритмы фазового укрупнения состояний полумарковских систем основаны на эвристической идее, опирающейся на предельные теоремы, и имеют реальную практическую интерпретацию. Основные математические предположения, при которых применимы АФУ, состоят в следующем. 1. Реальная исходная система описывается ПМВ (и„, е„, п > 0) в фазовом пространстве Е с полумарковским ядром Q (t, X, А) = Р {х„+1 6 А, Qn+i < tlKn = х}. 2. Реальная система близка к некоторой опорной системе, функционирование которой описывается ПМВ (хй, бй, п >О в фазовом пространстве ЕаЕ с полумарковским ядром Q" {t,x. А). При этом ВЦМ (х, п >0), задаваемая стохастическим ядром Р" (х. А) = О* (-\- оо, X, А),-эргодическая со стационарным вероятностным распределением р (Л): ) (Л) = J р (dx) Р» (х. Л), р (£0) = 1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 [156] 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |