|
| |
|
Слаботочка Книги Близость реальной и опорной систем может быть оценена, например, параметром р*== supp(/l)-j р(х)Р(х,Л). . 3. Фазовое пространство состояний Е реальной системы представимо в виде £ = и £ и ео, (28.6) где Е" - класс рабочих (устойчивых) состояний реальной системы; - класс поглощающих состояний реальной ВЦМ, соответствующий состояниям отказа реальной системы; Е = Е\ U El U ••• \}Ет - совокупность невозвратных состояний опорной ВЦМ. Невозвратные состояния опорной ВЦМ назовем восстанавливаемыми состояниями реальной системы; в этих еще работоспособных состояниях происходит восстановление рабочих функций системы (путем восстановления,   -off Рис. 28.5. Граф переходов: а) реальной, б) укрупненной системы ремонта, резервирования отдельных элементов системы и т. п.). При этом реальная ВЦМ из класса £" в состояние переходит только по цепочкам невозвратных состояний: -Р(х,£})>0, P{x,E])=0, 2<</п, хб"; Р(х, £)=0, xEl, p<fe-2, 2<fe<m; . q = lp{dx)\ •• j P(x,dXi)...P(x„ i, dxJP(x,eo)>0. (28.7) Равенство (28.7) выражает известный в теории надежности восстанавливае мых систем принцип минимальных (монотонных) траекторий. Граф возможных переходов реальной системы изображен на рис. 28.5, а. 4. Средние времена пребывания в состояниях (X) = Me,= J[l-G,(01dx (28.8) ограничены. Примечание. Кроме того, требуется дополнительно выполнение естественных условий регулярности функций распределения Gx{t), как правило имеющих место в конкретных приложениях. Например, достаточно требовать, чтобы функции распределения наработок на отказ были типа «стареющих». Укрупненная система в простейшем случае определяется в фазовом пространстве состояний Е = {1, 0}, содержащем два состояния: 1 - работоспособности, О - поглощающее состояние отказа. Граф переходов укрупненной системы представлен на рис. 28.5, б. Процесс марковского восстановления (х„, е„, п > 0), описывающий укрупненную систему, задается полумарковской матрицей 6 (t) = {Q {t), i, j = 0,1}, элементы которой выражаются по формулам: Qu{t)=Pii(---i), i, / = 0,1; (28.9) Pio = PK+i = 0x = 1} = 1 - = (?, Poo = 1, (28.10) где q вычисляется no формуле (28.7); Al = 1 /m, m = J p {dx) m{x). (28.11) Таким образом, укрупненный процесс х (f) = х- является марковским с двумя состояниями: 1 и 0. В рабочем состоянии 1 время пребывания распределено по экспоненциальному закону с параметром Ai (см. (28.11)), а верояность перехода в поглощающее состояние рю = q определяется формулой (28.7), которая выделяет основную часть вероятности поглощения реальной ВЦМ по минимальному пути. Для укрупненной системы случайное время безотказной работы %, т. е. время пребывания укрупненного ПМВ в рабочем состоянии 1 до поглощения в О, определяется формулой =2 (28.12) где -v распределено геометрически с параметром q: P{x=k}=il-q)t\ kl. (28.13) Случайные величины 6 независимы между собой и от v и распределены экспоненциально с одинаковым параметром Aj. Из (28.12) и (28.13) следует, что время безотказной работы распределено по экспоненциальному закону: Р it><) =е-л<, Aq/m. (28.14) Здесь q и т определяются формулами (28.7) и (28.11). Применение формул (28.7) -(28.14) для исходной реальной системы состоит в том, что времена пребывания исходной системы в классе работоспособных состояний Е" с начальным состоянием х принимается приближенно равным времени пребывания t, укрупненной системы в состоянии 1: Р {t>t}ce-. Формулы (28.7), (28.11) и (28.14) задают АФУ: реальная полумарковская система в фазовом пространстве состояний Е укрупняется до марковской системы в фазовом пространстве £ = {1, 0}. В частности, если невозвратные состояния класса Е отсутствуют в опорной системе, тогда упрощается вычисление вероятности отказа укрупненной системы. В этом случае вместо (28.7) вероятность отказа вычисляется по формуле q=p(dx)P(x,eo). (28.15) Приведенный здесь АФУ является одним из простейших, однако широко применяемым в анализе надежности стохастических систем. пример 28.2. Рассмотрим систему с двумя основными и одним резервным элементом и одним восстанавливающим устройством. Пусть: ii и 2 - наработки на отказ элементов с функциями распределения (t) и F (t) и плотностями Д {t) и /2 (О соответственно; tj - время восстановления с функцией распределения G (О и плотностью g (t). В работоспособной системе одновременно и независимо работают два элемента, отказавший элемент восстанавливается, а вместо него включается резервный. Система отказывает, если наступает отказ одного из основных элементов до окончания восстановления отказавшего перед этим элемента (т. е. при отсутствии работоспособного резерва). Требуется определить показатели надежности системы.  Рис. 28.6. Граф переходов ВЦМ: а) исходной, 6) опорной системы Решение. Введем полумарковские состояния: 1х (2х) - в момент отказа 1-го (2-го) элемента оставшееся время до отказа 2-го (1-го) элемента равно х; восстанавливающее устройство свободно; О - в момент отказа основного элемента восстанавливающее устройство занято. Длительности пребывания в/рабочих состояниях: Вероятность перехода ВЦМ в отказовое состояние Pkx =Pin>lkAx) -л (X) G (X) + + JG(y)J(y)dy, fe = l,2. (28.16) Граф переходов ВЦМ реальной системы изображен на рис. 28.6, а. В условиях быстрого восстановления в качестве опорной системы определим систему с мгновенным восстановлением: т) = 0; G (О = 1, ОО. Граф переходов ВЦМ опорной системы изображен на рис. 28.6, б. Плотности вероятностей перехода опорной ВЦМ: Pli-fiix-y), pi«,h{x + y); \ P\%=f2{x + y), Pli = h(.x-y). Стационарное распределение опорной ВЦМ Pi=c = 9F2 {х); 92Х = 9F1 (х), р = + flgl-i. (28.17) Здесь =. Ml,, - J F„ (х) dx,k = l,2. (28.18) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 [157] 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |