Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 [158] 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Применение АФУ, т. е. формул (28. И), (28.14), (28.15) с учетом (28.16)-(28.18) дает следующий результат: наработка на отказ реальной системы с быстрым восстановлением распределена экспоненциально с параметром

Л=Л, + Л„ Л,= !1>кАШ,

Л1!1>1ЛУ.. (28:19)

Здесь ii - предельные величины перескока в процессе восстановления со скачками 1:

Р {1%> X) =Fl(X) = (а,)-1 F„ (у)йу, = М„ = 1,2.

Пример 28.3. Рассмотрим систему из трех параллельно соединенных приборов с неограниченным восстановлением. Положим

{1, если г-й элемент исправен, О,

если г-й элемент восстанавливается.

Полумарковские состояния: fxkx, где fx = 1, 2, 3; к = kg, х = х-хх, и Хц = 0. Например, 2110x0x2 означает, что первый элемент исправен и отказ наступает через время х, второй начал функционировать после восстановления, третий элемент восстанавливается и до конца восстановления остается время Хд.

Решение. Времена пребывания в состояниях вычисляются по формуле (28.4). Согласно (28.6):

= {fxOx, р = 1,2,3},

где О = (ООО);

Е\ = iixkx, ki + ki + ks 1}; £" = {ркх, + + ks > 2).

Нетрудно заметить, что число физических состояний системы 24 = 3-2. Опорный процесс получается, если положить в соответствующих формулах функции распределения (х) времен восстановления равными

G<Mx) = P[J г = 1, 2, 3. 10, х<0.

Согласно (28.5) стационарное распределение ВЦМ для опорного процесса имеет плотность

р(ркх)=роП G(/)(x,). (28.20)

Применение АФУ, т. е. в данном случае формул (28.7), (28.11) и (28.14) с учетом (28.20), дает следующий результат: наработка на отказ системы с быстрым восстановлением распределена экспоненциально с параметром

Л = Al + Л2 + Лз, - где Al =-l [Р {is < < rji л (ii + г])}-f

+ Р{11<11<гил(1з+Г1з)}],

Р {U > о = (%)- I Рн (") du, % = М„; t

ife - время безотказной работы -го элемента; rj - время восстановления k-ro элемента, k = 1,2,3; Л2 и Л3 получаются аналогично перестановкой индексов.

28.4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТОЧЕЧНЫХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ РАСЧЕТА СТАЦИОНАРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

28.4.1. Предварительные замечания. Обычно при вычислении нестационарных характеристик надежности сложных систем с восстановлением, связанных со временем до первого отказа системы, предполагается, что поведение элементов системы и восстанавливающих устройств может быть описано полумарковским процессом с конечным числом состояний Е+. В этом случае расчет характеристик надежности является стандартной задачей о времени пребывания полумарковского процесса во множестве Е+. Однако на самом деле поведение сложных систем с восстановлением на всем интервале времени [О, оо) лишь в нескольких исключительных и довольно тривиальных случаях удается описать полумарковским процессом. Здесь применение находят так называемые полурегенерирующие процессы, или полумарковские процессы сб вспомогательными траекториями, а также их обобщение - процессы с вложенными точками (ПВТ).

Известно, что расчет таких нестационарных характеристик надежности, как коэффициента готовности /с (О и коэффициента оперативной готовности R (t, Q, сопряжен с большими трудностями даже для марковских моделей.

Ниже излагается общий подход к расчету стационарных коэффициентов готовности /с, коэффициента оперативной готовности R (4), вероятностей состояний pft, распределений наработки на отказ и времени восстановления т] и, в частности, их средних. Этот подход основан на использовании стационарных ПВТ и является обобщением известноометода Кендалла - Хинчина вложенных цепей Маркова.

28.4.2. Моделирование систем с помощью ПВТ. Рассмотрим некоторую систему с восстановлением и обозначим через Е (конечное) множество ее состояний. Предположим, что Е = Е+ U Е-, где Е+ и Е- - соответственно подмножества состояний работоспособности и отказа системы. Например, для дублированной системы из одинаковых элементов с одним восстанавливающим устройством, если состояние / означает, что отказало ровно / элементов, то £ = {0,1,2}, Е+ = {О, 1}.

Поведение системы на интервале времени [О, оо) задается случайным процессом Z (t), t > О, с пространством состояний Е. Процесс Z (t) меняется лишь скачкообразно, причем каждый скачок обусловлен отказом или завершением восстановления одного из элементов системы. Будем предполагать траектории процесса Z (t) непрерывными справа. Изучение процесса Z if) существенно облегчается введением соответствующим образом подобранной последовательности вложенных точек.

Определение!. Пусть Z (f) - случайный процесс с пространством состояний Е, а {Тп} - последовательность случайных величин, удовлетворяющая с вероятностью 1 условию

0=Ti<Ti<..., lim Т„ = оо,

причем Z (О и {Тп} определены на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда пара [Z (t), {Тп}] называется процессом с вложенными точками Т, Tg, ...

Обычно вложенные точки Т„ определяются самим процессом Z (f), т. е. поведением рассматриваемой системы. Например, Т„ могут быть моментами пересечения процессом Z (t) некоторого заданного уровня или моментами вхождения процесса Z (t) в некоторое заданное подмножество С Е (если С = Е-, то Тп будут моментами отказов системы). Однако Т„ могут быть и моментами «вмешательства извне», например моментами изменения режима, в котором работает система, ИТ. д.; фраза «на одном и том же вероятностном пространстве» означает лишь, что Z (t) и {Тп} соответствуют одному и тому же случайному явлению.

Вложенные точки разбивают процесс Z (t) на циклы (Z„ {f), О < L„), где L„ = Тп+1 - Тп - длина п-го цикла, а

Z„ (О = Z (Г„ + О, О < f < L„, (28.21)

- его «содержание». Простейшим примером ПВТ являются регенерирующие процессы, у которых все циклы независимы, а при п > 1 одинаково распределены. В этом случае Т„ называют точками регенерации. При этом весь процесс определяется начальным циклом (Zo (t), О < / < Lo) и «порождающим» циклом (Zi{t), О < / < Li). Напомним о двух очень важных частных случаях регенерирующих процессов с заданным порождающим циклом (Z (t), О t-< Ь), а именно о синхронном регенерирующем процессе, у которого начальный цикл имеет то же распределение, что и порождающий, и о стационарном регенерирующем процессе,

Г/ 7-/

Рис. 28.7. Иллюстрация операции переноса координат

распределение начального цикла которого полностью определено распределением порождающего цикла. Оказывается, что этот факт может быть обобщен и на случай ПВТ, когда уже никаких предположений о независимости циклов не делается.

Определим для ПВТ операцию сдвига 5„, ы > 0:

S„ [(Z (0), (TJI - [(Z {t + n),t> 0), (Г«, n > 0)1,

где ТЧ = О, = Tn+N (и) ~u, N {и) = max {/: Tj u}.

Наглядное представление об этой операции как о переносе начала координат в точку и следует из рис. 28.7.

О п р е д е л е н.и е 2. Процесс с вложенными точками [(Z (t)), (Г„)1 называется стационарным, если для любого и >Q сдвинутый ПВТ S„ [(Z (t)), (Т)! имеет то же распределение Р, что и [(Z (t)), (Тп)]. Процесс с вложенными точками [{Z (t)), {Тп)] называется синхронным, если его циклы (Z (f), 0<f<L„), n > О, образуют (как случайные элементы некоторого функционального пространства) строго стационарную последовательность, а средняя длина А произвольного цикла кончена.

Следует отметить, что синхронность ПВТ [(Z {t)), (Г„)1 эквивалентна его инвариантности относительно сдвигов по случайной «вложенной оси» (Тп), т. е. для любого / > 1 сдвинутый ПВТ [(Z (t + fj), t > 0), (Г„+, - fj, n > 0)] имеет

то же распределение Р, что и f(Z (t), (Т „)]. На первый взгляд стационарные и синхронные ПВТ представляются весьма различными объектами, однако между ними существует тесная связь.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 [158] 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199