|
| |
|
Слаботочка Книги 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 [159] 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 Утверждение. 1. Каждому синхронному ПВТ соответствует взаимнооднозначно некоторый стационарный ПВТ (с точностью до эквивалентности). В частности, если [(Z ()), (Тп)] - синхронный ПВТ с законом распределения Р и средней длиной цикла А, то закон распределения Р соответствующего стационарного ПВТ [(Z (t)), (Тп)] определяется формулой Р((Z(О, >0) G (•)) = -\P{Lo>u,(Z{t + u), >0)())du, (28.22) где (•)-произвольное событие (утверждение о процессе). Для одномерных распределений из (28.22) следует Р (Z (0) G С) -i- J Р (Lo > ы, Z (и) G С) du. (28.23) Это утверждение эквивалентно следующему: для любой неотрицательной функции g на Е Мр g (Z (0)) = М~ [J g(Z (u) du \. (28.24) В частном случае регенерирующих процессов формулы (28.23) и (28.24) общеизвестны. Следующее утверждение дополняет утверждение 1. Оно показывает, что распределение Р стационарного ПВТ является предельным для соответствующего синхронного ПВТ, и наоборот. Утверждение 2. Пусть для заданного синхронного ПВТ справедлив закон больших чисел Р (- lim Т„ = А) = 1. Тогда для любого С Е: lim - Г Р (Z (и) £C)du = P(Z (0) G Q; (28.25) t-уоо t J О lim -i- V P (Z (Fj) £C)=P{Z (0) G C). Для частного случая регенерирующих процессов (28.25) является общеизвестной эргодической теоремой, в которой для случая нерешетчатой функции распределения Р (Lo < t) левую часть можно заменить на lim (Р (Z (и) £ С). Из утверждений 1 и 2 следует, что поведение одной и той же системы в стационарном режиме можно описать связанными друг с другом в смысле этих утверждений синхронным и стационарным ПВТ. В первом случае начало координат совпадает с произвольной вложенной точкой. Во втором случае начало координат является произвольной точкой на временной оси. Покажем на примерах, что для заданной системы обычно легче построить синхронный ПВТ, описывающий ее поведение, и рассчитать затем по формулам (28.22) - (28.24) характеристики соответствующего стационарного процесса Z (t). При этом внешний вид формул от выбора вложенных точек, т. е. выбора синхронной модели, не зависит. Тем самым можно выбрать для каждой конкретной задачи наиболее удобный вариант синхронной модели. Простейшими примерами являются марковские и полумарковские процессы. Рассмотрим следующее весьма простое, но чрезвычайно важное для приложений обобщение полумарковских процессов - полурегенерирующие процессы. Пусть е = {О,..., /} - некоторое подмножество Е, а Z (t) - случайный про- цесс с пространстЁом состояний Е. В качестве вложенных точек рассмотрим точки Тп, для которых случайная величина 2 = 2 (Т„ + 0) принимает значение в е. Определение 3. Процесс с вложенными точками [(Z (t)), (Тп)\ называется полурегенерирующим, если его циклы (Z„(), 0< f<: L„) образуют однородную цепь Маркова, у которой: Р {Zn = j, (Zn (t), О t<Ln) € CZ„ i = i, {Zn-г (t), 0 < t<:Ln-i)) = qijQj (C); (28.26) Qij = P (Zn = j\Zn-i = 0. Qj (C) = P {(Zn (t), 0 < f < L„) e C Zn = /). (28.27) Таким образом, полурегенерирующий процесс- это процесс с / + 1 типами точек регенерации, причем распределение п-го цикла зависит от типа Z„ точки Т„, а переходы между типами управляются цепью Маркова с матрицей Переходных вероятностей (дц). Для полного определения полурегенерирующего процесса нужно еще задать его начальное распределение gj = P(Zo = j), Qf (С) = P ((Zo (0, 0 < f < L„ € CI Z„ = /). (28.28) Если имеет место Z„ (f) = Z„, О < <; n, a e = £, то мы получаем полумарковский процесс с функциями распределения времен пребывания типа Fij (t)= = Fi (t). В общем случае мы имеем процесс марковского восстановления Z„] с вложенными вспомогательными траекториями (Z„ (f), О t<zLn). Пусть вложенная цепь Маркова (Z„) имеет единственное стационарное распределение Pj. Тогда для параметров (28.26) и (28.27) существует единственным образом определенный синхронный полурегенерирующий процесс [(Z (t)), (Тп)], который получается, если в (28.28) положить gj = Pj и Q} (С) = Qj (С). Для соответствующего стационарного полурегенерирующего процесса, в частности, по формуле (28.24) имеем при 1 (х) = б (6.-символ Кронекера) Pj =р,(1/д)Мр [j ia,{z(0)z(0)=/dA , jK, с» Д = 2 Р А,, Дг = (t)dt, Fi (t) = Qi {L„ < 0. что в полумарковском случае приводит к известной формуле Утверждение 3. Для полурегёнерирующего процесса Z (t) с параметрами (28.26) и (28.27) и произвольным начальным условием (28.28) имеет место утверждение lim {p{ZMC)du = Р(С) = V Pj. В теории надежности полурегенерирующие процессы встречаются для случая е = £+, причем поведение системы в подмножестве определяется полумарковским процессом. Отметим, что приведенные в этом разделе результаты для ПВТ справедливы и для более общих пространств Е. 20.4.3. Расчет стационарных характеристик надежности систем. Рассмотрим некоторую систему с восстановлением и предположим, что в момент t О она уже находится в стационарном режиме. Тогда при заданном правиле выбора вложенных точек (Тп) мы можем описать ее поведение на [О, оо) синхронным процессом [(Z (t)), (Тп)]. При этом будем полагать, что Z(fn + 0)eEHZ(fn + 0)Ф1 (Тп - 0). Наиболее естественным условием, накладываемым на Z (Тп), является: Z (Тп - 0) € Z (Тп + 0) € (28.29) Длина п-го цикла £„ = !„ + т]„, где (т]„) - время пребывания системы в состояниях работоспособности (отказа) в течение п-го цикла. Вследствие стационарности последовательности циклов индекс п можно опустить. Величину L мы будем называть средней длиной цикла. Величины Тит обозначают среднюю наработку и среднее время восстановления. Функции распределения наработки на от-каз и времени восстановления т] обозначим через F (t) = Р (I t) н G (t) = Пусть [(Z (t)), (Тп)] - соответствующий [(Z (t)), (Тп)] стационарный ПВТ: Тогда вероятность /с = Р (Z (0) g Е+) назовем стационарным коэффициентом готовности, а / Р(М = P(Z (и) € £+, О < н < to), - стационарным коэффициентом оперативной готовности. Вероятности . = Р (Z (0) = /); ~Pi = P(Z (0) = /), / € Е, будем называть стационарной вероятностью состояния / и вложенной стационарной вероятностью состояния / соответственно. Утверждение 4. Стационарный коэффициент готовности и стационарный коэффициент оперативной готовности определяются формулами: = r/L = Т/(Т + т); (28.30) оо оо P(0=Y J(>")" = tI""- (28.31) h to Формулу (28.31) можно переписать в следующем виде: Р (to) = KFr (t), где Fr (t) - стационарное распределение остаточного времени безотказной работы определяемое как pRii) =-f [P(u)du. t Отметим, что формулы (28.30), (28.31) внешне полностью совпадают с формулами для соответствующих характеристик надежности простой восстанавливаемой системы. Однако существенная разница заключается в том, что в последнем частном случае правые стороны формул нам известны, тогда как в общем случае их нужно сначала определить, что может быть трудным или даже невозможным. Чтобы получить формулы для стационарных вероятностей состояний pj, воспользуемся другой последовательностью вложенных точек. Пусть сначала любой момент изменения состояния системы будет вложенной точкой. Обозначим через ((Z (t)), (Тп)] соответствующий синхронный ПВТ. Пусть: а/ = Мр- (Lo I Z (0) = /). р; = р (Z (0) = /) и а = 2 р}, а; = Мр и. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 [159] 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |