|
| |
|
Слаботочка Книги 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 [160] 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 Тогда по формуле (28.24) имеем Lo j p,=P(Z(0)=/)=Mp (Г UniZit)dt) = p;Aj УР- (28 32) о / iE Отметим, что (28.32) совпадает с соответствующей формулой для стационарных вероятностей состояний полумарковского процесса, но с той лишь разницей, что величины р/, Ау неизвестны. Иную формулу для стационарных вероятностей pj, / g е Е, получим, рассмотрев синхронный ПВТ [{Z" (t)), (Тп)], причем (Тп) включает в себя все точки входа процесса в подмножество е. Тогда, соответственно изменив обозначения, по формуле (28.24) получим Pj=M;7(]?)Pihi . (28.33) где p;- = P"(Z"(0) = /); А/МрЛ 5 lo-}(Z" {t))dt\Z"{0) = j - среднее время пребывания в состоянии /, если система стартует в момент t=0 в состоянии /. Рассмотрим применение предлагаемого метода расчета стационарных характеристик надежности на нескольких типовых примерах. Пример 28.4. Рассмотрим систему с монотонной структурой и индивидуальным восстановлением, состоящую из п независимых элементов, каждый из которых имеет свое восстанавливающее устройство. Решение. Пусть ф обозначает структурную функцию, ah - функцию надежности системы. Множество Е состоит из всех двоичных векторов е, а Е+ = = {е : е 6 £, ф (е) = 1}. Предположим, что в момент = О система уже находится в стационарном режиме. Тогда поведение г-го элемента описывается стационарным двоичным процессом Z> (t) и соответствующим ему (по утверждению 1) синхронным процессом Z() (t) с циклами вида 1 при ot<:W, Z(fl = О при 1><>+Г1($\ т>0. где (,п\ т]{) - последовательности времени безотказной работы и восстановления г-го элемента. Поведение всей системы задается стационарным векторным процессом Z (О = [Z(i) (О, Z(«) (01. Соответствующий Z {t) синхронный процесс запишем в виде Z {f) = [Z (t),---Z(") (t)]. Его вложенные точки определяются согласно (28.29) условием: Ф (Z (Г,„ + 0)) = 1, ф (Z~(f„ - 0)) = 0. Отметим, что двоичные процессы 7> (t) и Z> (t) не совпадают. Пусть: Tj = = М; Tj = Mrjj), m > 0. Тогда для коэффициента готовности г-го элемента по формуле (28.30) имеем Р (Z() (0) = 1) = Tj/(Tj + Tj) = Ki. Коэффициент готовности системы = Р (Ф (Z (0) = !)) - h (Кг, -, Кт) и согласно утверждению 2 К=Пт-~Р(ц> (Z (и))) du. Средняя наработка на отказ T-k-hiKu Кп), к = ikiih{Къ Ki-г, 1, .....Лп)- -ft (Ль Л,- 1, О, Лг+1, An)), kiiTi+xt)-\ il, и. При этом % имеет смысл интенсивности отказов. Для среднего времени восстановления М~Т1 = [1 -/i(Ki, .... Кп)1 В частном случ!адля последовательной системы: В этом случае можно определить и функцию распределения Fit)±Aipiii!LY]bjiu)du, /"=1 где f i (t) P"> (!> < ) - функция распределения наработки на отказ для г-го элемента. Для параллельной системы: ,• = 1 -Ьт 2 1/-.- Для системы типа «т из л» с одинаковыми элементами: я, =/гт"г»»-/Т-I-т«.. Пример 28.5. Рассмотрим дублированную систему с ненагруженным резервом, мгновенным переключением и одним ремонтным органом. Предположим, что в момент / = О система уже находится в стационарном режиме. Требуется определить показатели надежности. Решение. Пусть ((i„, tii„) п > 0), ((г,» ilzii) я > 0) - последовательности наработок на отказ времен восстановления для первого и второго элементов соответственно. Предположим, что эти последовательности независимы друг от друга и строго стационарны. Обозначим через Fj {t) Р (j„ < 0. Gj (f) = = Р (Цт < t) функции распределения наработки на отказ и времени восстановления /-ГО элемента, /= 1, 2. Множество Е = {1, 6}, где состояние 1 означает, что первый элемент на восстановлении, а второй - работает, 3 - что оба элемента работоспособны, 5 - что первый элемент на восстановлении, а второй отказал и ждет в очереди. Состояния 2, 4, 6 определяются аналогично. Вложенными точками Т„, удовлетворяющими условию (28.29), будут моменты вхождения системы в состояния 1 и 2. Очевидно, что случайные величины Z (Тп + 0) образуют цепь Маркова с переходными вероятностями = р = = О, pi2 = Р21 = 1 и стационарными вероятностями pi = рз = 1/2, определенными единственным образом. Следовательно, случайная длина цикла для синхронного ПВТ rmax (I2, T1I), если Z (Г„ + 0) = 1, " [max (I1, Г12), если Z (Г„ -f 0) = 2, где I2 - типичная наработка второго элемента; т]1-время восстановления первого элемента, отказавшего на предыдущем цикле (l, I2 определены по аналогии). Так как по условию I2 и iii (, и rjg) независимы, по формуле полной вероятности имеем р = -i- £ [max (I2, rjl) Н- max (i, rjz)] = 00 00 = Y J [1 - (0 Gi (01 + J П -/1 (0 G (01 Наработка на отказ если Z{Tn+0) = l, ill, если2(Т„+0) = 2. Отсюда по формулам (28.30) и (28.31) следует: К=- + £l2); (0) = "il J [1 (0 + 2 it) ] dt. Отметим, что рассматриваемая система может быть описана полумарковским процессом лишь в случае Gtit) = 1 - е~Однако процесс Z(t) является полурегенерирующим с /с = {1, 2} даже в рассмотренном нами случае зависимых lin и r[jn для каждого /= 1, 2. Пример 28.6. Рассмотрим дублированную систему с нагруженным резервом из одинаковых элементов и с одним ремонтным органом. Предположим, что все случайные величины, характеризующие поведение элементов, независимы и что наработка на отказ li каждого элемента имеет функцию распределения 1 - е а время восстановления rji - произвольную функцию распределения G {t). Требуется найти показатели надежности. Решение. В данном случае Е = {О, 1, 2}, Е+ = {О, 1}, а в качестве вложенных точек возьмем моменты окончания восстановления одного из элементов, т. е. моменты скачков Т„, удовлетворяющие условию Z (7, + 0) 6 •£+• Очевидно, что случайные величины Z (Т„ + 0) независимы и Р (Z (Г„ + 0) = 0) = а; Р (Z (f„ + 0) = 1) = 1 - а, Je-«dG(0=G*(X). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 [160] 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |