|
| |
|
Слаботочка Книги 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 [161] 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 Длина цикла jrjo, если Z(r„ + 0)= 1, " \+Ч в противном случае, где I - случайная величина с функцией распределения 1 - е-К Следовательно, Т = Мц + С* (1)121. Наработка на отказ f min (11, rji), если Z (Tn + 0) = 1, " " " %) в противном случае. Отсюда непосредственно получаем: ll+min(i, jcHHo получа R{to)=[G*mm~ e-t[l -G (t)] dt + G* (Vj e- /21 К = [2- G* [G* (Я) + 2кЕц]-К 28.5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ 28.5.1. Предварительные замечания. Рассматриваемый метод: позволяет рассчитывать коэффициенты готовности, среднюю наработку на отказ, среднее время восстановления, среднюю наработку до отказа, а также точные значения нижней и верхней границ вероятности безотказной работы системы и коэффициента оперативной готовности; обеспечивает определение стационарных показателей надежности как в аналитической форме, так и в численном виде с помощью приведенного далее алгоритма; позволяет определять границы нестационарных показателей надежности только в численном виде с помощью известного алгоритма стохастического программирования, исходными данными для которого являются значения первых трех моментов Тц, и случайного времени пребывания системы в области работоспособных состояний. Отличительные признаки метода: пригоден для расчета надежности систем с большим числом состояний (более 100); не накладываются ограничения на структуру исследуемой системы; не требуется преобразовывать исходный граф состояний; все показатели надежности системы, а также первые три момента времени ее пребывания в фиксированной области состояний определяются решением систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера, причем все определители рассчитываются по топологической формуле Мезона, операционное исчисление не используется. 28.5.2. Исходные понятия и основы метода. 1. Исходные данные: ориентированный граф состояний G (S, П), где S - конечное множество вершин (состояний) системы; П - конечное множество дуг между соседними вершинами i и / (состояниями Si и Sj); критерий отказа в виде множества работоспособных состояний 5р 6 S, множества неработоспособных состояний Sp 6 S, где Sp П 5рф 0, граничных работоспособных состояний 5+ 6 Sp и граничных неработоспособных состояний S 6 Sp, а также начальное состояние О = So; матрица полумарковских вероятностей \\Pij (t) , где (t) - вероятность перехода из состояния i в состояние / за время, не большее t; заданное время работы системы t. Если поведение системы описывается марковским случайным процессом, то вместо матрицы полумарковских вероятностей ПР-СОП достаточно задать матрицу интенсивностей переходов между соседними вершинами, где Кц - интенсивность отказов или восстановлений одного элемента системы при пребывании ее в г-м состоянии, в результате чего она переходит в соседнее j-e состояние. 2. Топологические понятия: путь - это цепь последовательно соединенных однонаправленных дуг с началом в вершине 5; и окончанием в вершине Sj, вес пути 1% = П PirPrf зам- i.r./es кнутый контур - это цепь последовательно соединенных однонаправленных дуг, причем выход конечной вершины цепи соединен последней дугой с начальной вершиной цепи; вес контура Cj = П РцРл; петля есть частный случай замкну- i. /65 того контура - в ней входящие и выходящие дуги сливаются в одну; вес петли Cj = Pjj; разложение графа - это часть графа, не содержащая выделенных вершин и связанных с ними дуг; вес разложения (определитель) (/) (//) Ш1) 3. Расчетные выражения: стационарные вероятности зх; полумарковского процесса щ =--, 1фО, (28.34) i е S (А) где AGo - вес разложения графа без нулевой вершины; AG - вес разложения графа, не содержащего вершин, расположенных на k-м пути из нулевой в г-ю вершину;То (Т) - математическое ожидание безусловного времени пребывания системы в состоянии sq (St); показатели готовности к= 1пй (28.35) среднее время восстановления системы = s s f средняя наработка системы до отказа То---" "" - (28.37) где AG - вес разложения графа, не содержащего вершин, соответствующих неработоспособным состояниям и нулевую вершину; AG - вес разложения графа, не содержащего вершин, соответствующих неработоспособным состояниям; средняя наработка на отказ системы "е-ш-. (28.38) les+ t"eS+ (й) первый начальный момент времени пребывания системы в фиксированной области состояний 5р при i-м начальном состоянии (i 6 Sp) Тг=-" "" - (28.39) где AG - вес разложения графа, не содержащего вершин, соответствующих неработоспособным состояниям и i-ю вершину; второй начальный момент времени пребывания системы в фиксированной области состоя/ий Sp при i-м начальном состоянии (i 6 Sp) М)+2 2 PirTlrTЛG + 2 2а7/"+2 S PjlTJlTЛGi Т\) - р "р (28.40) где Т/ и (Т) - второй начальный момент времени пребывания системы в состоянии Si (Sj); TiriTji) - математическое ожидание условного времени пребывания системы в состоянии S,- (5у) при условии перехода в состояние 5(5); Ti (Tl) - первый момент времени пребывания системы в фиксированной области состояний 5р при i-M (1-м) начальном состоянии; дисперсия времени пребывания системы в области работоспособных состояний D = П - (To) где То -рассчитывается по формуле (28.40) при нулевом начальном состоянии, а То - по формуле (28.37); третий начальный дюмент времени пребывания системы в фиксированной области состояний при i-M начальном состоянии (i 6 5р) + 3 2 PirTy-fTcr + S 2 PirTirT(p\AO + \ --eSp reSp ) р 2 247/"+3 S PjlT\T,i + 3 2 PjlTjinfAAGi (28.41) где Tf (TY) - третий начальный момент времени пребывания системы в состоянии Si (Sj); Tj- (Tl") - второй начальный момент времени пребывания системы в состоянии 5 (Si). 28.5.3. Алгоритм расчета. 1. Подготовительный этап: определяют вероятности переходов pij, математические ожидания Ti и Tj, i, / 6 S, соответственно безусловного и условного времени, а также вторые и третьи начальные моменты времени пребывания системы в каждом из состояний по формулам: Pij-PijM\ Tij = tdFij(t), 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 [161] 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |