|
| |
|
Слаботочка Книги Глава 29 НАДЕЖНОСТЬ СТРУКТУРНО-СЛОЖНЫХ РЕТРАНСЛЯЦИОННЫХ СЕТЕЙ 29.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Сетью называется взаимосвязанная совокупность объектов и соединяющих их каналов. Взаимодействие между объектами организуется на основе ретрансляции сигнала через исправные промежуточные объекты и каналы. Отказ объекта не позволяет использовать этот объект и все примыкающие к нему каналы. Все отказы элементов сети предполагаются взаимонезависимыми в совокупности. Сеть изображается на рисунках в виде графа, вершины которого соответствуют объектам :ети, а ребра (или дуги) - каналам связи (ориентированный канал изображается линией со стрелкой, т. е. дугой, а неориентированный - линией без стрелки, т. е. ребром). Объекты нумеруются арабскими или римскими цифрами, способ нумерации ясен из графического представления сети. Через [а, 5] обозначается канал между объектами а и Р; если канал ориентированный, то считается, что он исходит из объекта а и входит в объект р. Вероятностью связи (существования пути) между объектами аир называется вероятность события: «Объекты аир исправны сами, и существует хотя бы одна последовательность исправных объектов сети aj, а, а и исправных каналов связи [а, а], [aj, ag], [cLfi, aft], [a, p], соединяющих эти объекты». Если в сети имеются ориентированные каналы, то понятие пути сохраняется. Если одновременно существует как путь из объекта а в объект р, так и обратный путь из объекта р в объект а, то говорится о существовании сильной связи между объектами аир. Вероятностью связности (сильной связности) подмножества А объектов сети называется вероятность события: «Любая пара объектов подмножества А связана (сильно связана)». Под вероятностью безотказной работы понимается вероятность связности всех объектов сети. Обычно в теории надежности говорят о состояниях отказа и работоспособности и не акцентируют внимание на том, как сеть выполняет требуемые функции в процессе работы. Однако сложная сеть, включающая большое количество объектов и каналов связи, далеко не всегда теряет работоспособность при отказе отдельных элементов и фрагментов - зачастую только снижается эффективность ее функционирования. Поэтому для характеристики качества функционирования сетей используется целый комплекс различных показателей эффективности. В дальнейшем рассматриваются только задачи получения показателей надежности для фиксированного момента времени. Для количественных оценок используются два класса показателей выходного эффекта Bk сети в состоянии А 6 1. К- Первый определяется требованием связности (сильной связности) заданного подмножества А объектов сети; выходной эффект равен единице, если подмножество А связно, и нулю - в обратном случае. Например, вероятность связи заданных объектов, вероятность безотказной работы и т. д. Для критериев второго класса характерна зависимость выходного эффекта от размера (мощности) и вида подмножества связанных объектов сети. Например, если эффект определяется числом объектов, связанных с полюсом сети, то задача сводится к нахождению функции распределения числа таких объектов. Если выходной эффект зависит не только от числа, но и от конкретного состава объектов, то отыскивается многомерная функция распределения. Удобно находить не саму функцию распределения, а производящую функцию Ф (1, tm) совместного распределения целочисленных случайных величин li, Sm- Здесь lj - число объектов г-го типа, связанных с полюсом сети. По определению где ti - переменная производящей функции для г-й случайной величины. Суммирование производится по всем возможным наборам целых неотрицательных чисел /i, .... im- Начальные моменты распределения случайной величины li, ... Im вычисляются на основе дифференцирования производящей функции Ф (/j, tm) в единичной точке /п-мерного пространства переменных t, tm- Укажем на практически важный прием получения производящей функции Ф (1, т)- Для исходной ссти G строится надсеть G введением второго полюса и каналов связи, соединяющих этот полюс с объектами (вероятность отказа каж-   Рис. 29.1. Определение производящей функции числа объектов, связанных с полюсом I сети G: а) исходная сеть G; 6) надсеть G дого ИЗ каналов соответственно равна ti, t). После этого вычисляется вероят-. ность Q отсутствия связи между полюсами. Очевидно, что Q есть функция t, tjn; Q = Q{t, tm)- Оказывается, что для любых значений ti, i = 1, т, справедливо тождество Qiti, tm)Oiti, .... U- Например, для определения производящей функции Ф (t) распределения числа кольцевых объектов г, г = 1, п, связанных с полюсом I радиально-кольцевой сети, представленной на рис. 29.1, а, достаточно найти вероятность отсутствия пути между полюсами I и II сети на рис. 29.1, б, в которой вероятность отказа канала [II, г], i = 1, п, равна t. Наиболее целесообразно при исследовании надежности структурно-сложных сетей применение критериев средней эффективности, понимаемой как математическое ожидание выходного эффекта. В большинстве случаев задачу можно при этом свести к нахождению показателей, определяемых состоянием сети в фиксированные моменты времени. Основными из таких показателей являются: вероятность связности заданного подмножества объектов сети; моменты совместного распределения числа объектов различных типов, связанных с полюсом сети. 29.2. НАДЕЖНОСТЬ СЕТЕЙ С РЕКУРРЕНТНОЙ СТРУКТУРОЙ 29.2.1. Описание класса сетей с однородной рекуррентной структурой. Сети класса образуются последовательным подсоединением по фиксированному заранее правилу подсетей с одинаковой структурой, но произвольными показателями надежности элементов. Число подсоединенных подсетей определяет ранг сети, количество объектов в каждой из подсетей - степень сети. Сеть G„ п-го ранга (п = 2, 3, ...) задается начальной сетью первого ранга Gi и подсетью рекуррентности gn = v), где ки v - соответственно множество объектов и каналов связи. Структура подсети §•„ = (к, v) постоянна для любых п, а показатели надежности элементов произвольны. В множестве к выделяются два подмножества одинаковой мощности: входных к+) и выходных к(~) объектов, между которыми устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Входные объекты не могут соединяться между собой каналами связи; пересечение х") и х(-) в общем случае не пусто. В начальной   Рис. 29.2. Построение рекуррентной сети п-го ранга: Q) сеть первого ранга Сь 6) подсеть рекуррентности g; в) - сеть п-го ранга сети Gi определяется подмножество выходных объектов, причем Хг = = Ixt")], и между объектами из ХГ и х(+> устанавливается однозначное соответствие. Для получения сети G„ п-го ранга каждый из выходных объектов се- ти (п - 1)-го ранга совмещается с соответствующим входным объектом х") подсети рекуррентности gn, выходные объекты х- подсети §•„ образуют множество выходных объектов Хп" построенной сети п-го ранга G„. Наряду с операцией присоединения определяется и обратная операция исключения подсети рекуррентности gn, отличной в общем случае от g. На рис. 29.2 проиллюстрировано получение рекуррентной сети с радиально-кольцевой структурой. Сеть первого ранга G состоит из объектов I и 1, Xf = = {I, 1} и канала связи [I, 1] (рис. 29,2, а). Подсеть „ состоит из объектов (п - 1), п, I и каналов [I, п], [п - 1, п], причем х(+) = {I, п - 1}, х(-> = {I, 
Рис. 29.3. Приведение нерекуррентной сети (а) к сети с рекуррентной структурой (б) п}, порядок объектов в ХГ>, х(">, х(-> определяется их взаимно-однозначным соответствием (рис. 29.2, б). Результирующая сеть п-го ранга G„ имеет радиально-кольцевую структуру и представлена на рис. 29.2, в. В дальнейшем способ построения рекуррентных сетей будет описываться только рисунком. Сети с рекуррентной структурой (или близкой к ней) достаточно часто встречаются на практике. Произвольность параметров отказа элементов расширяет область применения, так как позволяет вводить «фиктивные» элементы с вероятностью отказа О или 1 и тем самым сводить исходную сеть к некоторой рекуррентной. Например, сеть, представленная на рис. 29.3, а, приводится к рекуррентной сети, представленной на рис. 23.3, в, введением безотказных канала 9, П1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 [163] 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |