Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 [164] 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

и объекта 11, заменой канала [8, 9] на составной канал из двух каналов [8, 111 и [11, 9] с такой же результирующей надежностью, введением неработоспособных каналов [2, 10], [И, 12], [1, 12], объекта 12.

Кроме того, рекуррентные сети, представляя собой хорошее приближение сетей, встречающихся на практике, позволяют достаточно точно и быстро находить количественные показатели надежности.

29.2.2. Описание метода нахождения показателей надежности сетей с однородной рекуррентной структурой. Р1цея метода определяется рекуррентностью структуры сети п-го ранга G„. Все множество состояний сети G„ разбивается на подмножества, характеризующиеся фиксированными состояниями отказа или работоспособности элементов подсети Применением операций стягивания работоспособных объектов, соединенных работоспособным каналом, или удаления отказавших элементов устанавливается эквивалентность каждого из подмножеств множеству состояний деформированной тем или иным образом сети (п - 1)-го ранга G%-i. Последняя отличается от сети (п - 1)-го ранга G„ i только подсетью gn-i и (или) начальной сетью Gt. По формуле полной вероятности искомый показатель надежности сети G„ записывается как линейная комбинация соответствующих показателей деформированных сетей G i.

Рекуррентность сетей Gn-\ позволяет построить аналогичным образом деформированные сети, но уже п-го ранга G%. Для каждой из них выполняются те же операции, процесс продолжается до тех пор, пока новые типы деформированных сетей образовываться не будут. Полученные соотношения записываются в матричной форме. Таким образом, показатели надежности деформированных рекуррентных сетей п-го ранга можно вычислить через показатели аналогичных сетей (п - 1)-го ранга. Эта процедура продолжается до тех пор, пока не будут построены сети первого ранга, чьи характеристики можно найти непосредственно благодаря малому числу элементов.

Ограничимся пояснением на простом примере нахождения вероятности связности П„ всего множества объектов разомкнутой однополюсной радиально-кольцевой сети, представленной на рис. 29.1, а и 29.4.

Введем следующие обозначения: Q {/} = Sj = 1 - - вероятность отказа объекта i, i = 1, n; объект I (полюс сети) безотказен; Q {[I, i]} = qt = i ~ - Pi, Q {[i - 1, /]} = Ot = 1 - Ki - вероятности отказа каналов [I, i], [i - 1, i], i- 1, г 6 1, П„ -вероятность безотказной работы (связности) сети G„; Щ9 - то же самое, но для деформированной сети п-го ранга Gn\q, отличающейся от исходной только тем, что канал [I, п] безотказен, т. е. ql, = 0.

Решение иллюстрируется на рис. 29.4 и реализуется поэтапно за семь шагов.

1. Множество состояний сети G„ разбивается на подмножества {s„}, {r„Q„a„}, {гпдпЛ-п}, {ГпРп<Уп}, {ГпРпЛ-п}- Запись параметров элемента подсети gn в фигурных скобках означает, что соответствующее множество состояний характеризуется отказом или работоспособностью этого элемента. Приведенное разбиение является полным.

2. Анализируется каждое из подмножеств. Подмножества состояний {s„} и {пЯпп } не удовлетворяют условию связности сети G, так как объект п отказал или является изолированным, т. е. для них Пп = 0.

В состояниях, определяемых подмножествами {г„р„а„} ({rnqnn}), можно удалить канал [п - 1, п] ([I, п]). Наличие пути между объектом п и остальными объектами сети полностью определяется состоянием, связности объекта I (объекта п-1). Следовательно, объект п можно «стянуть» (совместить) с объектом I (объектом п - 1). Но тогда исходная сеть эквивалентна сети (п - 1)-го ранга Gn-i-

Так как в состояниях {г„р„я„} объект I работоспособен по определению, а объект п по условию и они соединяются работоспособным каналом [I, п1, то эти

А-А-

Рис. 29.4. Сведение исследования рекуррентной сети п-го ранга к изучению деформированных сетей (fl-1)-го ранга

объекты можно стянуть в один объект I. Следовательно, между объектом (п - 1) и I имеются два параллельных канала: один-исходный с вероятностью отказа 9п-1. другой - фиктивный, который работоспособен по условию. Эти два канала заменяются одним работоспособным. Но тогда задача сводится к изучению дефор-мированцой сети (п - 1)-го ранга Сп-щ, в которой (fn- \ = О, и требуется найти -вероятность связности сети G-i-

3. Таким образом,

П„ = (s„ + г„9„а„)-0 + + (nZnJtn + ГпРпп) П„ 1 + г„р„.п„ Щ щ. (29.1)

4. Строится деформированная сеть п-го ранга Gi? и исследуется по методике пп. 1-3. Легко видеть, что анализ приводит к изучению тех же сетей (н - 1)-го ранга G„ i и G*n\\q, причем

Щ,5 = (5„ + г„а„)-0 + г„р„П„ 1 + г„я„Щ „,. (29.2)

5. Введем вектор характеристик П„ = !П„, Щ(,Г, где «т» - индекс транспонирования. Тогда соотношения ((29.1), (29.2)) можно записать в матричном виде

П„ = А„П„ 1, (29.3)

где матрица перехода

Гп Or, Гг, Пп

(29.4)

6. Так как п произвольно, то из выражения (29.3) сразу следует Пп = А„ Т1п-1 - An An-i Пп 2 = А„ А„ 1 ... Ag Ui.

(29.5)

7. Координаты начального вектора есть вероятность связности сети из полюса I и объекта 1, соединенных каналом связи [I, 1]. Для сети Q {[I, 1]} = = 9i = 1 -Pi, для сети G*ng Q {[I, 11} = 0. Тогда

Пх = kiPi, rr. (29.6)

Соотношения (29.4)-(29.6). определяют решение поставленной задачи.

Если не зависит от п не только структура подсети рекуррентности, но и параметры отказа элементов (т. е. надежность идентичных по назначению элементов сети Gn одинакова), то рекуррентная сеть Gn называется изотропной. Для изотропных сетей ответ удается получить в конечном виде, так как при всех п матрица перехода постоянна: А = А, п = 1, 2, и выражение (29.3) представляет собой конечно-разностное уравнение с постоянными коэффициентами, теория решения которых хорошо известна.

Уравнение (29.5) для изотропной сети записывается в виде

П, = А«-> П.

Находятся характеристические числа Ki матрицы А, являющиеся корнем определителя А (к) матрицы А :- КЕ, где к - скаляр; Е - единичная матрица. Для рассматриваемого примера:

rqn + гра-к грл

А{к) =

гр гп-к

к-г {n + qn + pa)k -\-rqn;

К.2 = -у Up + 2qn) + Vp" + "inapq ].

Искомая характеристика П„ - первая координата вектора - представляется в виде линейной комбинации п-х степеней характеристических чисел матрицы А:

= ikl

Коэффициенты Ci вычисляются из значений начальных векторов (матриц) характеристик Hi, П2 либо на основе формулы Перрона. В данном случае

29.2.3. Надежность сетей с полносвязной структурой. Сети со структурой в виде полного графа обладают наиболее высокими показателями надежности и живучести. Поэтому они используются при организации связи особо важных (как правило, управляющих) объектов сети. Полносвязные структуры с определенной точки зрения также можно считать рекуррентными, однако их методы анализа весьма специфичны и позволяют анализировать только изотропные сети: вероятности отказа каналов связи одинаковые, показатели надежности любых объектов сети также равны между собой. Аналитические соотношения для нахождения показателей надежности получены для следующих классов полносвязных сетей произвольного размера (ранга) п:

сетей с полной ориентированной специальным образом структурой: любые два объекта соединяются ориентированным каналом, исходящим из объекта с меньшим номером (рис. 29.5);

сетей с полной неориентированной структурой: любые два объекта соединяются неориентированным каналом (рис. 29.6);

многополюсных сетей с полносвязной неориентированной двудольной структурой, отображаемой полным двудольным графом: имеется два подмножества объектов, любой объект связан неориентированными каналами с каждым из объектов другого подмножества, объекты одного и того же подмножества друг с другом каналами не соединяются (рис. 29.7). Структура характерна для сетей с несколькими резервными центрами управления.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 [164] 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199