|
| |
|
Слаботочка Книги Соотношения позволяют вычислять: вероятность связности сети; моменты распределения числа объектов, связанных с полюсом сети; вероятность связи заданной пары объектов и ряд других характеристик. 29.2.4. Надежность сетей с иерархической структурой. Иерархические структуры характерны для централизованных систем - управления, снабжения и распределения, сбора и передачи информации. В этом случае имеется начальный (нулевого ранга) объект, непосредственно связанный с рядом подчиненных ему объектов первого ранга; каждый из последних, в свою очередь, взаимодействует с объектами рророго ранга и т. д. Множество объектов, непосредственно связанных с одним и тем же управляющим объектом предьщущего ранга, образует некоторую подсеть, т. е. рассматриваемые сети представляют собой иерархическое объединение сравнительно простых подсетей. Более сложный вид иерархической сети и более сложные функции   /77= 3  Рис. 29.5. Сеть п-го ранга с ориентированной полной структурой (п=5) Рис. 29.6. Сеть п-го ранга с неориентированной полной структурой (п=5) Рис. 29.7. Сеть п-го ранга с т-полюсной полносвязаной двудольной структурой (т=3, п=5) реализуемые ею по сравнению с комплектующими подсетями, определяют и большую сложность применяемых показателей надежности. Используется показатель средней эффективности М {£} сети, или математического ожидания выходного эффекта. Обычно удается с той или иной степенью точности представить выходной эффект Е в виде аналитической функции / (х, х, х„) от числа х, Xg, х„ нормально функционирующих объектов 1, 2, п-го рангов. Объект является нормально функционирующим, если он исправен сам и связан цепочкой из исправных элементов с элементом нулевого ранга. Тогда вычислением {Е} можно производить по формуле Mlv...>, й«/(0.....0) Здесь Mi ... I - -начальный момент порядка ы = + ... + in совместного распределения случайных величин 1, ,j нормально функционирующих объектов соответственно рангов 1, п. Для определения средней эффективности иерархической сети п-го ранга наиболее удобно предварительное нахождение производящей функции Фп (4> • •. tn) совместного распределения случайных величин 1;, i 6 1. нормально функционирующих объектов различных рангов: Фп(1,-..,„)=. S. P{li = ti,...,l„ = t„,}<V...<>. где Р {Il = il, In = in) - вероятность события: «В сети п-го ранга нормально функционирует ровно Il объектов первого ранга, ровно in объектов п-го ранга.  г• •...•{ • жшк. Ране О 
 Рис. 29.8. Иерархическая сеть п-го ранга Gn с простым подчинением (а); комплектующие подсети gi (б); однополюсная подсеть с радиальной структурой (в) Рассматриваются два класса иерархических сетей: с простым подчинением, в которых любой объект непосредственно подчинен только одному объекту вышестоящего уровня (ранга) (рис. 29.8); со сложным подчинением, в которых каждый объект непосредственно подчинен объектам нескольких вышестоящих рангов (рис. 29.9). Взаимодействие управляющего объекта с управляемым осуществляется через ориентированный канал, исходящий из управляющего объекта. Предполагается рекуррентность иерархических сетей в том смысле, что способ взаимодействия объектов одного и того же ранга с остальными объектами определяется только -рангом объекта. Ориентированная иерарическая сеть п-го ранга с простым подчинением (рис. 29.8) Gn образуется присоединением к сети (п - 1)-го ранга G„ i множества одинаковых однополюсных подсетей g- Заметим, что не требуется идентичности подсетей gi и gj, если i Ф /, г, / 6 1, «• В подсети g различаются полюс I и выходные объекты i, i = \, k. Сеть первого ранга Gi представляет собой подсеть g. Выходные объекты подсети g образуют множество выходных объектов сети G. При построении сети п-го ранга каждый из выходных объектов сети (п - 1)-го Ранг О    Рис. 29.9. Иерархическая сеть п-го ранга d со сложным подчинением (а); комплектующие подсети gi, i==l, п (б) (показаны схематично-двухполюсная подсеть с радиальными объектами (в) ранга Gn-i совмещается с полюсом одной из подсетей g. Множество выходных объектов всех присоединенных подсетей образует множество выходных объектов сети G„. На рис. 29.8,связи между выходными объектами подсетей не показаны, так как подсети различных рангов могут отличаться друг от друга. В подсети gn, ft = 1,2, полюс всегда считается безотказным, на параметры надежности остальных элементов ограничений не накладывается. В иерархической сети ft-ro ранга G„ вероятности отказа каналов совпадают со значениями для соответствующих каналов присоединенных подсетей, вероятности отказа объектов определяются параметрами выходных объектов присоединенных подсетей. Заметим, что подсеть gt сама может рассматриваться как иерархическая сеть первого ранга: начальный объект - полюс, выходные объекты первого ранга - выходные объекты подсети. Введем следующее обозначение: (4) - производящая функция числа нормально функционирующих выходных объектов подсети gn, ft = 1, 2, рассматриваемой как иерархическая сеть первого ранга. Нахождение Ф„ (4, t„) производится рекуррентным образом последовательной заменой аргумента tn-i на tn~i ср„ (tn) в производящей функции Ф„-1 (4, 4 i) для сети G„ i меньшего, (ft - 1)-го ранга: Ф„(4,..., 4-1, 4)=Ф„-1(4,..., tn-i =tn-iipn(tn)), (29.7) Фх (i) = Ф1 (У- Для вычисления смешанных моментов МЦ ... производящая функция Ф„ (tl, t„) дифференцируется как сложная функция в единичной точке п-мер-ного пространства переменных tt, г = 1, ft. В результате определяются рекуррентные соотношения, связывающие моменты для сети м-го и (ft - 1)-го рангов. Эти соотношения записываются в матричной форме, как и для сетей с однородной рекуррентной структурой. Элементы матрицы перехода определяются на основе вычисления начальных моментов числа нормально функционирующих выходных объектов подсети gn, п = 1,2, т. е. дифференцированием производящей функции ф„ (tn). Непосредственное нахождение производных сложной функции приводит к очень громоздким соотношениям. Поэтому применяются специальные математические приемы, основанные на использовании чисел Стирлинга 1-го и 2-го рода и полиномов Белла. Для конкретности рассматривается ориентированная иерархическая сеть ft-ro ранга со сложным подчинением второй степени (рис. 29.9). Сеть п-го ранга Gn образуется присоединением к сети (п - 1)-го ранга G„-i множества одинаковых двухполюсных (количество полюсов определяется степенью сети) подсетей gn- Так как способ присоединения аналогичен сетям с простым подчинением и достаточно очевиден из рис. 29.9, ограничимся только замечанием, что полюс II подсети gn совмещается с объектом (п - 2)-го ранга сети G„ x, полюс I подсети gn- с объектом (п - 1)-го ранга. Как и для сетей с простым подчинением, не требуется идентичности подсетей gi и gj при i ф \. Начальная подсеть gx имеет только один полюс I, полюс II с примыкающими каналами отсутствует. На значения показателей надежности элементов подсетей gi, 1 = 1, п, ограничений не накладывается, за исключением требования безотказности объектов I и II - полюсов сети. Параметры отказа элементов сети Gn такие же, как и у соответствующих элементов комплектующих подсетей, причем вероятность отказа объекта сети равна вероятности отказа выходного объекта соответствующей подсети. Нахождение начальных моментов распределения числа нормально функционирующих объектов сети со сложным подчинением существенно сложнее, чем для сети с простым подчинением. Любой объект характеризуется уже не двумя состояниями (нормально функционирует, обратное событие), как ранее, а 2 состояниями, где / - степень сети (в данном случае / = 2). Поэтому, при первичном авали- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 [165] 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |