Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 [166] 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

зе рассматривается не одна /-полюсная подсеть а 2 - 1 различных преобразований исходной подсети g„ в однополюсную. В данном случае это:

сеть gk, получаемая из g совмещением полюсов I и II в один полюс; сеть gA", получаемая из g„ удалением полюса II с примыкающими к нему каналами;

сеть g", получаемая из g„ удалением полюса I с примыкающими к нему каналами.

Соответственно производящая функпия для нахождения распределения числа нормально функционирующих объектов сети зависит не от п переменных, как для сети с простым подчинением, а от n (2 - 1) переменных.

29.3. ОЦЕНКА ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ СЕТЕЙ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ

СТРУКТУРОЙ

29.3.1. Предварительные замечания. Описанные в предыдущих разделах методы анализа надежности ретрансляционных сетей связи предназначены для точного вычисления характеристик. Это влечет за собой либо большую трудоемкость (порядка экспоненциальной) при исследовании сетей с произвольной структурой, либо наложение ограничений на класс исследуемых структур, вьфажающихся в требовании рекуррентности или симметричности их построения.

В данном разделе излагается метод нахождения приближенных значений характеристик связности сетей. Метод позволяет анализировать произвольные структуры с произвольными показателями надежности объектов и каналов связи, однако он наиболее эффективен при исследовании высоконадежных сетей большой размерности. Для таких сетей реализация метода на ЭВМ позволяет добиться степенной зависимости (порядка п) трудоемкости от числа п элементов сети. При этом точность метода лежит в диапазоне nq - nq, где k - порядок оценки; q - максимальная из вероятностей отказа элементов. Более того, для сетей с ячеистой структурой (в виде решетки, триангуляционные сети и т. п.) удается снизить трудоемкость метода до линейной зависимости от числа элементов сети. Заметим, что подобные структуры наиболее часто встречаются при организации избыточных сетей связи.

Искомый показатель надежности сети в общем случае есть многомерная функция показателей надежности ее элементов. Как правило, это ограниченная функция, непрерывная и дифференцируемая по каждому аргументу. Предлагаемый подход фактически сводится к. нахождению начальных членов разложения интересующей характеристики (или некоторой функции от нее) в многомерный ряд Тейлора. Основной сложностью при этом является получение частных производных, так как мы не располагаем аналитической записью характеристики.

Есть некоторая аналогия между рассматриваемым методом и интерполяцией функций. И в том и другом случае строится функция, совпадающая с искомой на пространстве меньшей размерности. При интерполяции оценивается функция одной переменной, а совпадение достигается на конечном числе точек; в нашем примере оценивается функция п переменных, а совпадение достигается на /г-мерных подпространствах, причем остальные п - k переменных полагаются равными константе. В обоих случаях производные (конечные разности) до fe-ro порядка включительно искомой функции и оценки совпадают. Все это объясняет принятое название - интерполяционный метод.

Основные свойства метода определяются выбором подмножеств переменных, на которых достигается совпадение искомой функции и оценки. При нахождении характеристик надежности сетей связи вычисления резко упрощаются, если параметры отказа элементов равны нулю или единице и возможно применение следующих операций, позволяющих сократить размерность задачи. Если нулю равна вероятность работоспособного состояния линии связи (объекта") сети, то эта

линия (объект с тфимыкающими линиями) удаляется. Если нулю равны вероятности отказа двух объектов и соединяющей их линии связи, то проводится операция стягивания - объекты совмещаются в один, а соединяющая их линия связи удаляется. Таким образом, наиболее целесообразно при оценке использование характеристик искомой функции в точках, где свободными (ненулевыми) являются только k переменных, а остальные п - k полагаются равными нулю. В результате задача сводится к исследованию множества сетей, но всегда с k стохастическими элементами, что при k <. п намного проще.

29.3.2. Основные положения интерполяционного метода. Введем следующие обозначения и определения: Ф (<«>) = Ф (i, qn) - искомый показатель надежности сети - функция п переменных q i= 1, п. Зафиксируем набор п переменных qt в качестве исходного. Пока не конкретизируется природа переменного qi, считается только, что это некоторый показатель надежности элемента или группы элементов сети. Введем: <ik> - набор переменных, получающийся из исходного приравниванием нулю п - k переменных; {<fe>} - множество различных <;>-наборов; <:im\k> - поднабор переменных, получающийся из <:fe>-Ha6opa приравниванием нулю (k - т) переменных; {<im\k>} - множество различных <;тй>-поднаборов; Ф (<;fe]>); Ф (<mfe>) - значение искомой функции Ф для набора <Cfe> и поднабора <СтЛ> соответственно. Отметим, что не конкретизируется и искомая функция Ф (</г>).

Пусть задан некоторый <;>-набор переменных для исходной сети. В результате проведения описанных выше операций стягивания и (или) удаления элементов, соответствующие показатели надежности которых равны нулю, сеть преобразуется. Такая преобразованная сеть в дальнейшем называется <:>-сетью и обозначается как G (<fe>). Исходная <;/г>-сеть обозначается G (<«>)•

Функция п переменных (<м>) = Rh (Яъ Qn) называется оценкой fe-ro порядка для функции Ф (</г>), если для любого произвольного <fe>-Ha-бора Ru«k»0 «k».

Очевидно, что при fej <С k имеем Rji (<Cfei]>) = Ф (<С1), так как <Cfei]> -набор можно трактовать как <:Л>-набор с нулевыми переменными. Из определения следует, что в точке qi = О, i = I, п, смешанные производные любого порядка функций Ru (</г>) и Ф (</г>) совпадают, если только число переменных дифференцирования не превосходит k. Следовательно, совпадают и начальные (до fe-ro порядка включительно) члены разложения R (<«>) и Ф (<«>)

Рассматриваются две модификации метода: первая основана на вычислении оценки в виде суммы характеристик <;>-сетей, вторая - в виде произведения этих характеристик. Соответственно в дальнейшем будем говорить об аддитивной и мультипликативной модификациях метода (оценки).

Аддитивная R (<«>) и мультипликативная R (<;n>) оценки fe-ro порядка функции Ф {<ti>) вычисляются на основе рекуррентных соотношений;

Rk {<п» = Ru-г «п» + S [Ф «к» г-г, J; (29.8)

Rui<n»=\-ii<Zn>) П [Ф«к»Гги-ии1 (29.9)

{<*)}

где сумма (произведение) берется по всем возможным <;>-наборам переменных

Очевидно, что общее число слагаемых (сомножителей) есть С„. Начальные

значения Rq (<:п>), Rg (<:п>) определяются как

Ro «п» = Ro i<n» = Ф (О, 0.....0). (29.10)

Вычисление г-ц, Г/-щ, учитывающих взаимозависимость различных <ik>-наборов, производится для каждого фиксированного <;>-набора по формулам:

ги-ии= (-l)*-"- 2 Ф«тА»; (29.11)

т = 0 {{m\k))

Гк~11 й -•= 2

П 0(<mfe>) . (29.12)

m = OL{(mft>}

Если k невелико, то трудоемкость нахождения оценок составляет примерно операций для вычисления всех слагаемых (сомножителей) в формулах (29.8), (29.9). Вычисление каждого слагаемого требует порядка 2* операций.

Выбор аддитивной или мультипликативной модификации определяется классом оцениваемого показателя. Как правило, аддитивная оценка более удобна при исследовании показателей надежности, «линейно-изменяющихся» с увеличением размера сети (типа математического ожидания числа нормально функционирующих объектов). Мультипликативная оценка предпочтительна для показателей надежности, «экспоненциально» зависящих от размера сети (типа вероятности связности объектов).

Рассмотрим подробнее вопрос о природе переменных qt. Как следует из способа вычисления оценок (<«>), Rh (<м>), основными требованиями, определяющими выбор переменных gt, являются: простота вычисления значения Ф (<fe>) - искомой характеристики для <й>-набора; минимизация погрешности получаемой оценки. Из первого следует, что в качестве gt может рассматриваться как вероятность отказа элемента сети (объекта или канала связи), так и вероятность исправного состояния. Более того, gt можно рассматривать как векторный параметр, характеризующий некоторое подмножество элементов. Тогда gt = О означает, что для любого элемента подмножества соответствующий показатель надежности равен нулю, дф О - что ограничений на значения показателей не накладывается (тем самым, допускаются разные значения показателей надежности элементов одного и того же подмножества). Требование минимизации погрешности оценки определяет, учитывая, что оценка фактически дает начальные члены разложения функции в ряд по gt, целесообразность выбора в качестве д наименьшего из показателей отказа или работоспособности элемента. Таким образом, для высоконадежных элементов в качестве gt выбирается вероятность отказа, для ненадежных элементов - вероятность работоспособного состояния.

Выбор векторного параметра gt сокращает размерность задачи, так как уменьшается общее число параметров, однако возрастает сложность анализа <fe>-сети в силу увеличения в ней числа стохастических элементов. Поэтому такое задание используется, только когда получаемые <;>-сети имеют специальную структуру и показатель Ф (<:fe>) вычисляется достаточно просто.

Пример 29.1. Задана триангуляционная сеть (рис. 29.10). Необходимо оценить Ф (<;«>) - вероятность связности сети. Объекты считаются безотказными.

Решение. Множество объектов сети X разбивается на подмножество Х, Хг, Хз, как показано на рис. 29.10, а; объекты Х выделены белыми кружками, объекты Xj - заштрихованными, объекты Xg - черными кружками. Под gt понимается множество значений вероятности отказа каналов связи, соединяющих объекты одного и того же множества Xj, i = 1, 3; под а - множество вероятностей отказа остальных каналов. Искомая характеристика Ф (<:3>) = Ф (д, 2, q-j, (У). Ищется оценка R (<3>) первого порядка.

Легко видеть, что G (<;0>) представляет собой последовательное объединение четырех объектов, так как объекты одного и того же множества Xj стягиваются в один объект Xt (рис. 29.10, б, для простоты множество каналов между объектами I и х, х и Xz, х и Xg заменяются одним каналом). Имеется три раз-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 [166] 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199