|
| |
|
Слаботочка Книги личных <1>-сети: G (<9i>), G (<qz>), G (<9з>) (обозначение определяется ненулевым параметром отказа). Каждая из этих сетей имеет одно- или двухполюсную рекуррентную радиально-кольцевую структуру (рис. 29.10, в, г, д), вероятность связности сети G {qO-) может быть найдена на основе результатов § 29.2. Для произвольных сетей возможность векторного задания аргументов встречается сравнительно редко, поэтому для компактности изложения в дальнейшем предполагается, что qt - показатель надежности одного элемента. Для определен- e(<3>)  GC<0>) ®-  Рис. 29.10. Оценка характеристик триангуляционной сети на основе интерполяционного метода при векторном задании аргументов: с) исходная сеть С«3>); б) <0>-сеть С(<0>); в. г, д <1>-сетн 0{<q,», G«92>), 0(<дз» НОСТИ считается, что qi - вероятность отказа элементов. В силу общности исходных положений приводимые в дальнейшем результаты справедливы (если это специально не оговаривается) и для векторного задания. Физический смысл оцениваемого показателя Ф (<«>) надежности сети не имеет принципиального значения при использовании интерполяционного метода. Основное требование - удобство вычисления Ф (<;fe>) и быстрая сходимость оценки с ростом k. Следует отметить, что при построении сети G (<;fe>) операциями стягивания и удаления элементов в общем случае получается сеть с «взвешенными» объектами. Вес объекта определяется весами стянутых объектов. Например, при оценке среднего числа нормально функционирующих объектов сети G (<«>) вес объекта в сети G (<;fe>) равен числу объектов, стянутых в этот объект. В дальнейшем для простоты рассматривается оценка вероятности связности сети (вероятности безотказной работы). При этом вес объекта сохраняется неизменным и построение сети G (<;>) очевидно. Более того, так как для связности необходима безотказность всех объектов, то считается, что объекты безотказны и отказывать могут только каналы связи. Указанные ограничения непринципиальны и достаточно просто учитываются в общем случае. Алгоритм вычисления оценки очевиден из формул (29.8)-(29.12). Точность получаемой оценки определяется типом оцениваемого показателя, структурой и параметрами надежности исследуемой сети. При отсутствии каких-либо априорных предположений о типе структуры сети - абсолютная погрешность аддитивной оценки fe-ro порядка вероятности связности сети с п ненадежными каналами - удовлетворяет неравенству где q - максимальная из вероятностей отказа каналов связи. При большинстве практических расчетов точность, как показало сравнение результатов, существенно выше и составляет (п -f- п) q. Результат относится к сетям, число каналов в которых примерно в полтора-два раза больше числа объектов, а структура сравнительно однородна. (Подробнее об этом сказано ниже при описании так называемых ординарных сетей.) 29.3.3. Упрощения интерполяционного метода. Как показьшает практика, для реальных при оценке показателей надежности можно ограничиться значениями k = Ъ ~ 8. Трудоемкость расчетов составляет при этом п*, что при п 100 находится на пределе возможностей ЭВМ среднего класса. Это определяет необходимость дальнейших упрощений, которые ведутся в двух направлениях: упрощение процедуры нахождения г-; уменьшение числа анализируемых <;>-наборов. Для конкретности далее рассматривается оценка вероятности связности сети, где Qt - вероятность отказа канала связи. Ускорение процедуры нахождения /"ft-iift, й-цй основано на следующих положениях. 1. Если Ф(<» = 1-9г,(?г,... 9г, то г 1 = rft i, ь= 1. 2. Если сеть G (<fe>) есть мультиграф, т. е. некоторая пара объектов соединяется т параллельными каналами, вероятность отказа каждого из которых есть qi, q, то эти каналы можно заменить одним с вероятностью отказа q = = 2 ••• Qm- Таким образом, сеть G (<fe>) сводится к сети G* (<fe - m-f 1>) с меньшим числом (к - m -{- 1) стохастических элементов. Для этой сети необходимо вычислить Ф* (<fe - m + 1 >) и Г%-тШ-т+1- 3. Пусть параметры отказа элементов сети G (<;fe>) произвольны и равны qi, qt,. Рассмотрим изотропную сеть G (<fe>) с такой же структурой, но с одинаковыми вероятностями отказа элементов q = qi = Qz = = Qu- Пусть сщ - член fe-ro порядка малости в разложении характеристики Ф {<ik>) сети G (<:fe>) в ряд по параметру q. Тогда при вычислении аддитивной оценки (</г>) характеристики Ф (<:/г>) слагаемое Ф«й»-г 1и = а9192...9й- (29.13) Возможность рассмотрения изотропной сети G (<;fe>) существенно упрощает процедуру нахождения аддитивной оценки и при малых k позволяет осуществить табличное задание г-цй, что резко ускоряет вычисления. 4. Если Ф (<fe>) - вероятность связности сети G (<fe>), то а в формуле (29.13) есть разность между числом связных подсетей с четным и нечетным числом каналов связи. Пример 29.2. Пусть сеть G {<ik>) состоТит из трех объектов, объединенных в кольцо, т. е. может быть изображена в виде треугольника. При оценке вероятности связности очевидно, что любая из трех возможных подсетей с одним каналом несвязна, так как имеется изолированный объект. Любая из трех возможных подсетей с двумя каналами связна. Существует всего одна сеть (исходная) с тремя каналами, и эта сеть связна. Следовательно, а = - 0 + 3 - 1=2 и Ф «3» - ris = 2g(73. Принципиальным для сокращения числа просматриваемых <;>-наборов при вычислении оценки является положение о разложимых <;>-наборах. Будем называть <й>-набор аддитивно (мультипликативно) разложимым, если существуют такие два непересекающихся поднабора <;mife> и <im2\k>, что при любых значениях qt в сети G (<fe>) Ф (<fe>) = Ф (<mife>) + Ф (<m2fe>) (для мультипликативной оценки Ф (<fe>) = Ф (<т1й>)-Ф (<m2fe>). На практике разложимость <:й>-набора чаще всего означает, что показатель Ф (<fe>) сети G (<Л>) зависит менее чем от k показателей надежности элементов (тривиальный набор). Почти всегда это соответствует стягиванию канала связи, вероятность отказа которого (пусть qjJB данном <й>-наборе не равна нулю, каналами, вероятности отказа которых в рассматриваемом <;й>-наборе равны нулю. Так как Ф (<fe>) не зависит от qj, то можно образовать поднабор из одного qj ФО и легко установить соответствие определению разложимости. Весьма часто разложимость соответствует возможности представления сети G (<;/>) в виде объединения двух подсетей, имеющих только один общий объект. Важность понятия разложимого <;>-набора определяется возможностью не рассматривать его при вычислении оценки. Справедливо утверждение: «Если <:fe>-Ha6op разложимый, то для него тождественно выполняется Ф , =7,, з I й». Таким образом, при нахождении оценки по формулам (29.8), (29.9) соответствующие слагаемые (сомножители) будут равны нулю (единице). Пример 29.3. Оценивается вероятность связности последовательной сети, образованной п безотказными объектами 1, 2, п, последовательно соединенными каналами связи [1, 2], [2, 3], [п - 1, п], вероятность отказа которых соответственно qi, qn-i- Решение. Любой </г>-набрр при k > 1 будет мультипликативно разложимым. Действительно, пусть <k> = (О, 9,,, О, Тогда Ф«й» = (1-<7,,)(1-9...(1-?е,)- Рассмотрим поднабор <llfe> = (0, О, г,. О, 0) и поднабор <fe- lfe> = (О, О, qt, О, qi, 0). Очевидно, что для любых qi Ф = (1 J (1 - 9,J... (1 - qQ Ф «11 fe» Ф «fe - 1 I fe». Используя соотношения (29.9), (29.10), получаем, учитывая разложимость <;>-наборов при k> I: Ro «n>) = 1, Pi «n» = П (1 -Qi); RA<n»Ri«n»,..., Р„(<п>)=Ф«м»= П il-qi) = Ri«n». 1 = 1 Пример 29.4. Оценивается среднее число нормально функционирующих объектов в однополюсной радиальной сети с п лучами (рис. 29.11). Объекты абсолютно безотказны, pt - вероятность работоспособного состояния канала [I, i]. Решение. При k > 1 все <:й>-наборы - аддитивно разложимые. Дей-. ствительно, пусть <fe> = (О, р,,, О, Pt). Взяв поднаборы <lfe> = = (О, О, рг„ О, 0), </г - lfe> = (О, О, рг„ Pi, 0), получим Ф «1 = Pi,; Ф «fe - 1 - Pi, + ... + Pi Ф = Pi, + Pi, + ... + Pif Ф «1 + Ф «fe - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 [167] 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |