|
| |
|
Слаботочка Книги Основные элементы  0<v<f Отказавший элемент IZZ3 -Si. Нагруженный резерв Облегченный резерв Ненагруженный резерв Восстановленный элемент  Ремонтный орган Рис. 5.2. Структурная схема системы (для общего случая) ческий смысл. Например, для системы, состоящей из k резервных, нагруженных резервных, ng облегченных резервных (с коэффициентом нагруженности v, О <С V <: 1), Пз ненагруженных резервных элементов, при восстановлении отказавших элементов системы / ремонтными органами имеем: для интенсивностей переходов (отказов) Aj, О < / < п = ni + Пг + Пд: Ло = /гХ + пХ + пк, Aj = /гХ + п- + пу = Ло, Л„з = Ао, А„з+, = /гХ + -f (пг - 1) vX, А„з+2 = + + («2 - 2) vX, Л„,+„,« = йА. + (п1-1)?, А„з+п.+2=*+(П2-1)?, для интенсивностей переходов (восстановлений) М-, 1 < / < п: Ml = (1, Мг = 2(1, Мг = /(i, M,+i = /(i, = /fi- Очевидно, в рассматриваемом случае система, имеющая п резервных элементов, может находиться в конечном числе состояний соответственно числу отказавших элементов; Hq, Н, Н, Нп, Н+г- Состояние Нп+1, в котором система содержит п + 1 отказавших элементов (т. е. отказавшими являются все п резервные и еще один из основных элементов), есть состояние отказа системы. Для данной системы будут рассмотрены две модели, соответствующие задачам, в которых состояние отказа системы является поглощающим и отражающим. В первом случае рассматривается процесс функционирования системы только до ее отказа, т. е. предполагается, что система, попав в состояние Hn+i, уже из него больше не выходит. Во втором случае система, оказавшись в состоянии Hn+i, может вернуться затем в состояние Я„ и т. д. (Как уже указывалось, в системе не может быть более п + 1 отказавших элементов.) Лд л, Лу / Aj- Лп-f А„ Рис. 5.3. Граф переходов для системы, состоящей из т резервных элементов В теории надежности первая модель соответствует задачам определения вероятности безотказной работы системы, средней наработки до отказа, а вторая - задачам отыскания нестационарного и стационарного коэффициентов готовности. Граф переходов системы (для обоих случаев) приведен на рис. 5.3, на котором обозначено: Hj - состояние системы, в котором среди всех ее = /г -f п элементов имеется / отказавших, О < / < п -f 1; Л- - интенсивность перехода системы (отказа одного из ее исправных элементов) из состояния, в котором в системе было \ отказавших элементов, в состояние, в котором в системе будет на один отказавший элемент больше, т. е. / + 1 элемент, О < / < п; М- - интенсивность перехода системы (восстановления одного из ее отказавших элементов) из состояния, в котором в системе было / отказавших элементов, в состояние, в котором в системе будет на один отказавший элемент меньше, т. е. / - 1 элемент, 1 < / < п -f 1. Поведение системы, у которой состояние является поглощающим, опи- сывается следующей системой дифференциальных уравнений: р[ = Aj-xPj-г (t)- {Aj + М,) Pj (t) + mjxpjx (0, 0 < /< n + 1; (5.5) Л-1 = Л„+1 = Мо = М„+1 = М„.2 = 0, (5.6) где Pj (t) есть вероятность того, что система в момент времени t находится в состоянии Hi, при этом п + \ Поведение системы, у которой состояние Нп+х является отражающим, описывается фактически той же системой дифференциальных уравнений (5.5), но при измененных условиях (5.6), а именно Мп+х Ф О- В табл. 5.6 сведены выражения для основных показателей надежности системы (из k рабочих и п резервных элементов), полученные решением приведенных выше дифференциальных уравнений. В таблице использованы следующие верхние индексы: (0) - для случая, когда начальным условием функционирования является состояние полной исправности, (п) - для случая, когда начальным условием функционирования является момент выхода системы из состояния отказа; (/?) -• для случая, когда в качестве начального состояния рассматривает- Система с п резервными элементами. Общий случай Точное значение Приближенное значение Ут ) 7(0) л„ в„ "V •=0 (Л„ в„)-1 {Л„ в„)- П+1 JLI Л;в; (Лп в„)-1 Г п+1 i=0 / 1 п \ 1/М: 71+1 СЯ стационарный режим работы; без верхнего индекса приводятся показатели для произвольных начальных условий. В табл. 5.6 обозначено: MiMj... Mi где Xs"=s-ft корень многочлена Дт (х). определяемого рекуррентными соотношениями: Am (х) = - (Лж-1+м„ 1 -f X) Am-i (х)-А„ 2 (х); Ai (Х) = - (Ло + X). Ао(х)-1; "И0)=2рД0). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [17] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |