|
| |
|
Слаботочка Книги Необходимо одновременно отметить, что в предложенном алгоритме значительно сокращается (практически исключается) операция идентификации получаемой <;й>-сети. На каждом шаге число возможных конфигураций не превьш1ает k, а на практике почти всегда встречается не более двух конфигураций: на этапах а), б), г), з) - одна, на остальных этапах - почти всегда треугольная или мостиковая. Это позволяет характеристики типовых <:й>-сетей Ф (<;й>), г-цй хранить в буквенном виде в памяти ЭВМ, что резко ускоряет процесс вычисления. Пример 29.6. Для иллюстрации основных положений разработанного алгоритма оценивается вероятность связности сети, представленной в табл. 29.3. Вероятности отказа каналов одинаковы. Основные этапы решения приведены в табл. 29.3. Из симметричности сети вытекает изоморфизм <й>-сетей, получаемых на каждом шаге алгоритма. Поэтому в табл. 29.3 приводятся только изображения получаемых после проведения операций стягивания <:й>-сетей, причем мульти-каналы сохранены. Индексация строк таблицы соответствует шагам алгоритма. Шаг е), приводящий только к разложимым <:й>-наборам, дается для наглядности. Выражения для Ф (<:fe>) и Гь-ць не приводятся в силу громоздкости для этапов ж) и к). Общее число различных типов неразложимых <;й>-наборов равно 9. Эффективность метода резко возрастает при увеличении числа элементов сети, когда ее размер существенно превосходит размер анализируемых наборов. Г л а в а 30 СИСТЕМЫ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ С МНОГИМИ СОСТОЯНИЯМИ 30.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ На практике встречаются системы, элементы которых имеют несколько различных уровней качества функционирования. Качество функционирования систем, состоящих из таких элементов, также может иметь несколько уровней. Уровень качества функционирования системы однозначно определяется совокупностью уровней качества функционирования элементов системы. Предполагается, что система имеет монотонную структуру в том смысле, что улучшение качества функционирования какого-либо из элементов системы при прочих равных условиях не может привести к ухудшению качества функционирования системы в целом. Для таких систем предлагается метод представления состояния системы через состояния ее элементов. 30.2. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Пусть система состоит из п элементов. Состояние v-ro элемента обозначим Xv6 {О, 1, .... М. V = 1, 2, п. (30.1) Состояние Xv = О является состоянием отказа. Пусть нумерация состояний осуществлена так, -ЧТО большему значению Xv соответствует более высокое качество функционирования v-ro элемента. Функционирование системы, которое определяется вектором состояния элементов X = (Xi, Xg, х„), (30.2) характеризуется дискретной переменной 5, которая принимает значения О, 1, k, т. е. 5 = 5 (X) 6 {О, 1, .... k). (30.3) Иными словами, каждому уровню качества функционирования ставится в соответствие целое число. Предполагается, что функция S (х) удовлетворяет условию монотонности 5 (х) > 5 (х"), х > х", (30.4) причем неравенство векторов означает, что выполняется условие Xv > Xv для всех V = 1, ..., п и хотя бы для одной компоненты имеет место строгое неравенство. В предельных случаях одновременного полного отказа или одновременного наивысшего качества функционирования всех элементов и сама система должна функционировать соответственно на самом низком или на самом высоком уровне, т. е.: 5(0, О, 0) = 0; (30.5) 5 {К К, .... К) = к. (30.6) Соотношения (30.1)-(30.6) характеризуют искомую модель. Однако может оказаться, что существуют резервные элементы или дополнительные уровни функционирования у некоторых элементов, т. е. функция 5 (х) не зависит от состояния этих элементов. Чтобы исключать подобные случаи из рассмотрения, добавляются требования: 5(0v, x)S(fev, X); 5(Xv -1, x)5(}Cv, x) для каждого XvG{l. М-При этом использовано сокращение (Xv> x)=(Xi, Xv-1, Xv, v-i-i, л:„). Основными вычислительными операциями над дискретными переменными Xl, Хп являются конъюнкция, дизъюнкция и отрицание. Пусть х и у - две многозначные переменные. Тогда: конъюнкция X 1\у = min (х, у)\ дизъюнкция X \j у = шах (х, у); отрицание х= k - х. Для многозначных логических переменных справедливы правила де Моргана; X 1\у = х\1 у; х\1 у = х f\y. Далее, полезно ввести индикаторные функции , fl, если условие [В] выполняется, / [В] = { 10 в противном случае. В частности, справедливо следующее равенство: /[а:>и]/[>Х] =/[л:>111ах (и, М]- (30.7) Операции дизъюнкции и конъюнкции над векторами осуществляются по компонентам: max (х, х") = (max {хх, xl), max (хА, х), min (х, х") = (min (xi, хх), min {хп, х)). 30.3. виды ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МОНОТОННЫХ СИСТЕМ Вопрос об определении функции 5 (х) принципиально можно решить перечислением всех векторов состояния х и оценкой для них соответствующих значений уровня функционирования системы. Для рассматриваемой системы имеется z = - П [kv + 1) различных состояний, каждому из которых соответствует одно из чисел {О, 1, k}, которые характеризуют собой значения функции S (х). Не учитывая свойство монотонности (30.4), можно образовать (k + ly различных функций 5 (х). Действительно, после п-кратного применения формулы разложения по аргументам S(x)= 2 х)/[,=,,,] приходим к следующей общей форме представления: Другими общими формами представления являются дизъюнктивная нормальная форма S(x)= V И1 = 0 5(xi, х„) Л и конъюнктивная нормальная форма S(x)= Л 5<, = 0 S(xi, х„) V Число функций 5 (х) для систем с монотонной структурой значительно меньше (k + 1). Непосредственно из неравенства (30.4) следуют такие свойства монотонных систем: 5 (max (х, у)) > max (S, (х), 5 (у)); S (min (X, у)) < min {S (х), S (у)). (30.8) (30.9) Неравенство (30.9) отражает хорошо известный факт: резервирование отдельных элементов является более эффективной мерой, чем резервирование всей системы. Этот результат справедлив и для систем с элементами, имеющими более двух состояний. На основании (30.8) и (30.9), зная значения функции S (х) для сравнительно небольшого числа характерных состояний х, достаточно полно и однозначно определить функцию S (х) на всей области определения. Действительно, заданием так называемых минимальных реализаций, соответствующих системным уровням 1 2, к, или заданием максимальных реализаций, соответствующих системным уровням О, 1, к - 1, функция S (х) может быть полностью задана. Понятием минимальной (максимальной) реализации обобщается понятие минимального пути (минимального сечения). 30.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ S(x) НА ОСНОВЕ МИНИМАЛЬНЫХ РЕАЛИЗАЦИЙ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЙ 1. Реализация Хщ = (xi, хп) вектора состояний х называется минимальной реализацией данного уровня х {1, 2, к], если выполняются условия S (Хш) = X и S (х) < X для всех х < Хщ. (Строгое неравенство для векторов означает, что для всех компонент справедливо нестрогое неравенство и, кроме того, по крайней мере для одной из компонент выполняется строгое неравенство.) Обозначим Ga (х) множество всех минимальных реализаций данного уровня к, а W (у) - количество элементов этого множества. Введем последовательные структуры, соответствующие минимальным реализациям Хщ 6 Ga (х), т. е. к, ш(х) min 1[ху>хд. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 [170] 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |