|
| |
|
Слаботочка Книги Подмножество векторов состояния, соответствующих системному уровню можно описать следующим образом: /[S(x)>KJ= "lX х.(о(х). KSn<k l<e><W {к) Отсюда непосредственно получаются общие формы представления функций монотонных систем: S(x)= max (x/[S(x)>K])= max [x( max A.:. ш(х))]. Последнее выражение можно преобразовать к виду S{\)=k max Ak, ш (х) + l<a)<W (fc) + [1- max Aka{x)] max [x( max Л, ш(х))]. 1<а<Г(Л) 1<и<Л -1 1<а<и?(л:) Многократное применение этого преобразования дает S(x)==fe max Ла,.,„(х) + l<a<VJ? (fc) ft -1 k + у, a ( max Лк,в(х)) П [1- max Лх.ш(х)]. Используя представление для булевых переменных mmI[B.] = ni[B.], • (30.10) тах/[в., = 1-П(1-%]) (30.11) и формулу (30.7), можно привести эти формы представления функции 5 (х) к следующему виду: /[S(x)>K]= max max min /[ , = = max max fl %>bv] = = max K<yc<k = 1- П 1- П Коэффициенты fc; являются целыми числами и ?tv/ 6 {О, 1, .... v}. Количество слагаемых заранее не известно и зависит от рассматриваемой конкретной системы. Таким же образом можно получить представление S(x)=2«; П /[.v>v/]. (30.12) / v=l 30.5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ S(x) НА ОСНОВЕ МАКСИМАЛЬНЫХ РЕАЛИЗАЦИИ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 2. Реализация Хо = (ло,. л;о„) вектора состояния х называется максимальной реализацией данного уровня х {О, I, k - 1}, если выполняются условия S (хо) = X и S (х) > X для всех х > Хр. Обозначим Gp (х) множество всех максимальных реализаций данного уровня X, а S (х) -• количество элементов этого множества. Каждой минимальной реализации Хо g Gp (х) соответствует параллельная структура Ви.о(х)= max Iix„>x„]. Подмножество векторов состояния, соответствующих системному уровню, не меньшему х, можно описать следующим образом: /[5(х)>и]= min min В,„(х). (30.13) Из (30.13) можно вывести общие формы представления монотонных функций S (X): S(x)= ibax (x+l)/[s(x)>H]= max [(x-f 1)( min B,„(x))], (30.14) o<x<fe-i o<>t<:fe-i i<:o<:s(>t) S(x)== max [x( min 5„ ,,o(x))] (30.15) 1<и<:б i<:o<:s(K-i) k-i k-i S(x) = k min Bk-i.c(x)+ y\ %{ min „(х)) П [1 - i<:o<:s(fe-i) и=1 i<c<s(K-i) j, - min B;,. o(x)]. (30.16) .i<:o<:s a) С помощью формул (30.7), (30.10) и (30.11) можно перевести (30.14)-(30.16) в представление (30.12). Глава 31 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ 31.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Существует класс технических устройств и систем с аддитивным показателем эффективности, формируемых из очень большого числа однотипных элементов (сотен, тысяч и более единиц). При этом количество резервных элементов, составляя единицы процентов от их общей массы, в абсолютном исчислении также велико. В этих условиях применение стандартных методов расчета надежности существенно затрудняется. Параметр р = Хр- для таких систем уже не является малым, и сходимость решений, представляемых обычно в виде ряда, ухудшается. Эффективным является метод построения непрерывных распределений, соответствующих (при определенных условиях эквивалентности) реальньпл дискретным распределениям вероятностей состояний системы. В этом случае дискретный параметр-индекс состояний переходит в непрерывный, а система исходных уравнений (например, процесса «гибели и размножения») «свертывается» в одно диф- ференциальное уравнение в частных производных. Непрерывный аналог рассматриваемого дискретного процесса является диффузионным процессом, описываемым прямым (обратным) уравнением Колмогорова. 31.2. «СХЕМА ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ». КОЭФФИЦИЕНТ ГОТОВНОСТИ Система «прямых» уравнений процесса «гибели и размножения» для коэффициента готовности имеет вид pk (t) = K-iPk-i (t) - (К + lift) Ph (t) + p,+iPft+i(/), (31.1) = 0, 1, n, X i = Po = X„ = p„+i = 0, где pft (t) - вероятность нахождения системы в момент времени t в состоянии Ek (k - число отказавших элементов); - интенсивность перехода системы из состояния k в состояние E+i; Pft - интенсивность перехода системы из состояния k в состояние £ft i; п.- число элементов системы. Приближенным непрерывным аналогом системы уравнений (31.1) является прямое уравнение Колмогорова вида -p(y,t)=- {а (у) p(y,t)}+- {b (у) р (у, t)}. (31.2) а (у) = - п-1 [р (у) - К Ш, b (у) = [У2п\- [р {у) + % {у)\, у = fen-S pft (О = р (у, t), Pft = р (у), 4 = (у)- (Здесь опущен параметр х начального состояния процесса при / = О, т. е. Р (у. О = Р (х. У, t).) Коэффициент а (у) в теории диффузии называется коэффициентом сноса и характеризует перемещение процесса в среднем за единицу времени. Величина b (у) определяет дисперсию этого перемещения. Физически у есть доля отказавших элементов к моменту времени t. Используя выражение для коэффициента готовности Kiyi,t)=jpiyJ)dt, приходим к уравнению для определения К (f/i, t) K{yi,t) = -a{iii)4-K{yi,f)+ Ь(Уг)--К{Уг,П (31.3) dt ду1 ду1 с граничными условиями: К (О, t) = О, К(У2, 0=1- Отметим, что у в выражении для К (Уг, О есть точка отказа системы, т. е. минимальная доля неисправных- элементов, при которой система считается исправной; У2 - максимально допустимая доля отказавших элементов, при достижении которой система отключается. В нраттически важном стационарном случае уравнение (31.3) принимает вид д ./.ч г. a(yi) I fc(yi) Мг/i) К (Уд + V (Уд Я Ы = О, V (Уд = еу2 дух ь(уу) Решение уравнения (31.4) при данных граничных условиях есть (31.4) К(Уд =
(31.5) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 [171] 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |